Un intervalle est borné lorsque les valeurs qui l'encadrent sont des réels : [ a ; b ] [a\ ; b] [a ;b].
Intervalles bornés
Étymologiquement, un intervalle est un ensemble de nombres compris entre deux valeurs et appelées les bornes de l'intervalle. Un intervalle est dit borné s'il est limité des deux côtés. Un intervalle est dit fermé en , si la borne est comprise.
Un intervalle borné est un intervalle dont les deux bornes (les extrémités) sont finies. Par exemple, ]0;5] et [1;2] sont bornés alors que [3;+∞[ ne l'est pas. Un intervalle est fermé si chacune de ses deux bornes est soit infinie, soit incluse dans l'intervalle (crochet vers l'intérieur).
Un intervalle fermé
Cela signifie que l'intervalle [a,b] est formé par tous les nombres entre a et b. On écrit que x appartient à l'intervalle si a ≤ x ≤ b. Graphiquement, un intervalle fermé est illustré par un segment dont les deux extrémités sont remplies.
Principe. a) Lorsque le crochet entour le nombre, on dit qu'il est fermé, dans le cas contraire on dit qu'il est ouvert. Par exemple, [2;3[ est fermé en 2 (mais ouvert en 3), cela veut dire qu'il contient 2 mais pas 3 ! ]
Définition 1 : Un intervalle de R est l'ensemble de tous les nombres réels compris entre deux réels a et b où a et inférieur à b. Remarque 1 : Selon que l'on prenne (ou non) le nombre a, on dira que l'intervalle est fermé (ouvert) du côté de a.
do - sol: quinte, car il y a 5 notes comprises dans l'intervalle (do, ré, mi, fa, sol) do - la: sixte, car il y a 6 notes comprises dans l'intervalle (do, ré, mi, fa, sol, la) do - si: septième, car il y a 7 notes comprises dans l'intervalle (do, ré, mi, fa, sol, la, si)
En mathématiques, un intervalle (du latin intervallum) est étymologiquement un ensemble ordonné de points compris entre deux bornes. Cette notion première s'est ensuite développée jusqu'à aboutir à la notion topologique de boule d'un espace métrique.
On appelle un intervalle l'ensemble des nombres réels compris entre deux nombres réels a et b, ou de manière équivalente l'ensemble des points sur la droite dont la marque est entre a et b. Exemple : l'intervalle [ 2 ; 5 ] est l'ensemble des nombres réels x tels que 2 ≤ x, et x ≤ 5. Bornes incluses ou exclues.
Si l'ensemble des majorants d'une partie A de R admet un plus petit élément M on dit que M est la borne supérieure de A et on note M = sup(A). Cette borne est alors unique. Si l'ensemble des minorants d'une partie A de R admet un plus grand élément m, on dit que m est la borne inférieure de A et on note m = inf(A).
Distance entre les bornes d'un intervalle donné.
Une partie 'compacte' est une partie de ℝ à la fois fermée et bornée. Exemples: Un intervalle fermé borné du type [a,b] est un compact. ℚ n'est pas compact, car non borné.
Un intervalle fermé, comme {a}, [a, b], [a, +∞[, ] − ∞,b], ] − ∞, +∞[, est fermé. Exemples extrêmes : ∅ et R sont `a la fois ouverts et fermés.
Tout intervalle fermé est un ensemble fermé. Toute réunion finie de fermés est encore est encore un fermé. L'intersection d'une famille quelconque (même infinie) de fermés est encore un fermé. Un singleton est fermé.
On désigne les intervalles par les noms de seconde, tierce, quarte, quinte, sixte, septième, octave, selon qu'ils contiennent 2, 3, 4, 5, 6, 7 ou 8 degrés différents. On dit “degrés” dans l'échelle diatonique, pour exprimer les sept sons de la gamme telle qu'on la connaît (do, ré, mi, fa sol, la, si).
Intervalle. En musique, un intervalle entre deux sons est défini par le rapport (et non la différence) de leurs fréquences. Si la fréquence d'un son 2 est le double de celle d'un son 1, les deux sons sont consonants et l'intervalle qui les sépare est \dfrac{2}{1}.
L'image de I par f , notée f (I) est l'ensemble des nombres de la forme f (x) avec x ∈ I : f (I) := {f (x)|x ∈ I}. Théor`eme Soit f une fonction continue et I un intervalle contenu dans DDf . Alors f (I) est un intervalle.
Si M a pour abscisse x, alors son ordonnée est f(x). donc l'image de 2 par f est 2. donc l'image de -2 par f est 2.
Dans l'échelle diatonique naturelle — c'est-à-dire sans altérations —, le demi-ton diatonique existe d'une part entre les notes mi et fa, d'autre part entre les notes si et do ; les autres intervalles conjoints sont des tons. Le demi-ton diatonique a une fonction attractive.
Les intervalles sont déterminés par rapport au premier degré de la gamme, c'est-à-dire do. Par exemple, l'intervalle entre do et fa est identique en majeur comme en mineur. L'intervalle entre do et fa est une quarte, car il y a 4 notes pour aller de do à fa. C'est donc une quarte juste.
La gamme diatonique est incomplète
Étymologiquement, diatonique signifie dans le ton, ou à travers le ton. La gamme diatonique est donc la gamme qui contient les notes naturellement présentes dans les harmoniques de la note de départ.
L'ensemble des nombres entiers naturels est noté ℕ. Un nombre entier relatif est un nombre entier qui est positif ou négatif. L'ensemble des nombres entiers relatifs est noté ℤ. Un nombre décimal peut s'écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule.
L'ensemble Z vient de l'allemand zahlen qui signifie compter. Ainsi défini par Dedekind, il recouvre l'ensemble des nombres entiers relatifs (exemples : -3 -1 0 1 5). N est inclus dans Z.
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