On dit que a est racine d'ordre r de A s'il existe un polynôme Q tel que A = (X a)rQ avec Q(a) 6= 0. Autrement dit, a est racine d'ordre r de A si A est divisible par (X a)r mais pas par (X a)r+1. Une racine est dite simple si elle est d'ordre 1, double si elle est d'ordre 2,. . .
une racine de P est multiple si et seulement si elle est aussi racine de P' ; si A est un corps de caractéristique 0 alors, pour que α soit une racine d'ordre r de P, il faut et il suffit que P(α), P'(α), P''(α), …, P(α) soient nuls et P(α) soit non nul.
On appelle racine d'un polynôme réel ou complexe une racine d'un polynôme P(X) à une seule variable dont les coefficients sont réels ou complexes, c'est-à-dire un nombre α, réel ou complexe, vérifiant P(α) = 0.
Si f est une fonction définie sur un ensemble D , à valeurs dans R ou C , on dit que x est une racine de f , ou un zéro de f , si f(x)=0 f ( x ) = 0 . Le mot racine est particulièrement employé pour les polynômes.
Recherche de racine(s) et signe d'un polynôme : Un polynôme du second degré P(x) = ax² + bx + c admet au plus deux racines. Le nombre exact de ses racines est déterminé par le signe d'un expression notée Δ qu'on appelle le discriminant. Δ = b² - 4ac.
La racine carrée
Par exemple, 3 est le nombre dont le carré est 9 : un coup d'œil dans la table des racines carrées donne rapidement ce résultat. On dit que 3 est la racine carrée de 9.
3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582. Dans la pratique, on utilise 3,14 mais il est souvent aisé de retenir 22 septièmes ou racine de 10 pour valeur approchée de Pi. Les décimales de Pi ont été la proie des savants depuis près de 4000 ans.
Un polynôme nul est un polynôme dont tous les coefficients sont nuls, y compris le coefficient constant.
Racines : Une racine réelle dite "double" : x1 = − b 2a . Factorisation : Pour tout x, ax2 +bx+c = a(x−x1)2. Signe : ax2 +bx+c est toujours du signe de a et s'annule pour x = x1. Résolution dans R de l'équation x2 +2x−3 = 0 : (Par rapport aux formules, on a ici : a = 1, b = 2 et c = −3 ).
multiplicité d'une racine d'un polynôme : si a est racine du polynôme P∈K[X] P ∈ K [ X ] , P≠0 P ≠ 0 , sa multiplicité est le plus grand entier n pour lequel on peut écrire P(X)=(X−a)nQ(X) P ( X ) = ( X − a ) n Q ( X ) avec Q un polynôme non nul.
Un polynôme est unitaire si son coefficient adeg(P ) de plus haut degré est égal à 1. 5. La somme, la différence, le produit de deux polynômes, le produit d'un polynôme par un élément de K ont un sens naturel et possèdent les propriétés requises (commutativité, associa- tivité, distributivité, . . . )
Un réel a est racine d'un trinôme P si et seulement si P\left(a\right)=0. 1 est racine de P si et seulement si P\left(1\right)=0.
En algèbre, un polynôme est dit scindé sur un corps commutatif K s'il est décomposable en facteurs de degré 1 sur K. C'est toujours le cas si K est un corps algébriquement clos ; En algèbre homologique, une suite exacte courte dans une catégorie abélienne est dite scindée s'il existe une section du second morphisme.
Le coefficient dominant d'un polynôme est le coefficient de son monôme de plus haut degré. Le coefficient constant d'un polynôme est le coefficient de son monôme de degré 0. Soit le polynôme P(x)=3x2-5x+7. Son coefficient dominant est 3 et son coefficient constant est 7.
Le degré d'une expression algébrique correspond à la valeur des exposants des variables. Sa détermination varie selon qu'il s'agit d'un monôme ou d'un polynôme. Le degré d'un monôme à une seule variable correspond à l'exposant de cette variable. 15 est de degré 0 car 15=15x0.
La fonction de variation partielle (polynomiale de degré 1)
L'équation de la fonction polynomiale de degré 1 de variation partielle s'écrit sous la forme suivante: f(x)=ax+b f ( x ) = a x + b où a≠0 a ≠ 0 et b≠0 b ≠ 0 . Cette règle correspond à la règle générale pour les fonctions affines : f(x)=ax+b.
La racine carrée de cinq, notée √5 ou 51/2, est un nombre réel remarquable en mathématiques et valant approximativement 2,236. C'est un irrationnel quadratique et un entier quadratique.
La racine carrée de trois, notée √3 ou 31/2, est en mathématiques le nombre réel positif dont le carré est 3 exactement. Il vaut approximativement 1,732.
Il a été sans doute découvert par des mathématiciens grecs de la haute Antiquité. Euclide (vers 300 av. J. -C.)
= 5√10. Voilà.....
racine carrée de 144 =
= 12.
Par exemple, la racine carrée de 20 est environ égale à 4,47213595499957939..., c'est-à-dire un nombre proche de 4 et demi. La racine carrée d'un entier qui n'est pas un carré parfait ne peut pas être mis sous la forme d'une fraction.