L'espérance de aX + b est E(aX + b) = aE(X) + b. La variance de aX + b est V(aX + b) = a2V(X).
Variables discrètes
Soustrayez de chaque observation la moyenne. Calculez le carré de chacune des autres observations. Additionnez ces résultats au carré. Divisez ce total par le nombre d'observations (la variance, S2).
La formule de la variance est V= ( Σ (x-μ)² ) / N. On démontre que V= ( (Σ x²) / N ) - μ². Cette formule est plus simple à appliquer si on calcule la variance à la main.
Donc si X et Y sont deux v.a. indépendantes, alors var(X + Y ) = var(X) + var(Y ).
Soit (Ω,T,P) ( Ω , T , P ) un espace de probabilité et X:Ω→R X : Ω → R une variable aléatoire. Lorsque X2 est d'espérance finie, on appelle variance de X le réel V(X)=E((X−E(X))2)=E(X2)−(E(X))2 V ( X ) = E ( ( X − E ( X ) ) 2 ) = E ( X 2 ) − ( E ( X ) ) 2 et écart-type de X le réel σ(X)=√V(X) σ ( X ) = V ( X ) .
Moyenne : La moyenne arithmétique est la somme des valeurs de la variable divisée par le nombre d'individus. La variance : La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. L'écart-type : c'est la racine carrée de la variance.
La variance est utilisée dans le domaine de la statistique et de la probabilité en tant que mesure servant à caractériser la dispersion d'une distribution ou d'un échantillon. Il est possible de l'interpréter comme la dispersion des valeurs par rapport à la moyenne.
La loi du couple (X, Y ) est définie par l'ensemble des probabilités : IP(X = x, Y = y) pour toutes valeurs possibles x et y. De même, pour y ∈ DY , on a IP(Y = y) = ∑x∈DX IP(X = x, Y = y). À partir de la loi du couple, on retrouve facilement la loi de chacune des variables.
Contrairement à l'étendue et à l'écart interquartile, la variance est une mesure qui permet de tenir compte de la dispersion de toutes les valeurs d'un ensemble de données. C'est la mesure de dispersion la plus couramment utilisée, de même que l'écart-type, qui correspond à la racine carrée de la variance.
La variance mesure la manière dont des points de données varient par rapport à la moyenne, tandis que l'écart type mesure la distribution de données statistiques. Penchons-nous sur un exemple. Deux groupes d'étudiants ont répondu à un questionnaire noté sur 10 points.
Étape 1 : Calculer la moyenne (le poids moyen). Étape 2 : Soustrayez la moyenne et mettez le résultat au carré. Étape 3 : Calculez la moyenne de ces différences. Ou voir : comment calculer la variance de l'échantillon (à la main).
C'est la somme des carrés des écarts par rapport à la moyenne / nombre de degrés de liberté = SCE/ddl (ceci lorsque le nombre d'individus composant l'échantillon est réduit ; sinon, utiliser N'=N). La variance est le carré de l'écart-type.
Si on veut trouver l'écart entre deux nombres positifs comme 5 et 9. Comme les deux nombres sont positifs, lorsqu'on tente de faire la soustraction, cela fonctionne comme d'habitude : 9 - 5 = 4. L'écart est donc de 4.
La variance se calcule par la somme des carrés des différences entre chaque observation et la moyenne divisé par le nombre d'observations.
La variance
Cette formule intègre des carrés dans le but d'éviter que les écarts positifs et les écarts négatifs par rapport à la moyenne ne s'annulent. La dimension de cette mesure étant le carré de la dimension de la moyenne, on utilise plus souvent l'écart-type qui n'est rien d'autre que la racine de la variance.
Une variance est toujours positive. La valeur d'une variance ne peut être interprétée que par comparaison à la valeur d'une norme ou d'une autre variance. Si une variance est nulle, cela veut dire que toutes les observations sont égales à la moyenne, ce qui implique qu'il n'y a aucune variation de celles-ci.
Et la raison pour laquelle on divise par N est tout simplement que la probabilité associée à chaque élément de la population finie de taille N est 1/N menant au calcul de la variance σ2.
La variance de X est donc Var(X) = Cov(X, X). Intuitivement, la covariance caractérise les variations simultanées de deux variables aléatoires : elle sera positive lorsque les écarts entre les variables et leurs moyennes ont tendance à être de même signe, négative dans le cas contraire.
On note ¯x sa moyenne et s2 sa variance.
Si une v.a. suit une loi normale N ( μ ; σ 2 ) , alors l'espérance de vaut E ( X ) = μ et sa variance vaut ² V ( x ) = σ ² et son écart-type ² σ ( X ) = σ ² .
Par exemple, la courbe de Gauss permet de calculer la probabilité pour qu'une note, choisie au hasard dans un ensemble de notes, appartienne à un intervalle donné.
Théorème (espérance du produit de deux variables aléatoires indépendantes) : Si X et Y sont indépendantes et admettent une espérance, alors XY admet une espérance et E(XY)=E(X)E(Y) E ( X Y ) = E ( X ) E ( Y ) .
Plus l'écart-type est grand, plus les valeurs sont dispersées autour de la moyenne ; plus l'écart-type est petit, plus les valeurs sont concentrées autour de la moyenne. Le carré de l'écart-type est la variance ; la variance est aussi un indicateur de dispersion.
Ainsi, la variance d'une série statistique est égale à la différence entre « la moyenne des carrés » et « le carré de la moyenne ».
Méthode 1 : Calcul direct de la variance dans Excel
La première méthode, la plus rapide, est de sélectionner une cellule et d'inscrire directement la formule de la fonction dans celle-ci. Dans notre exemple, la cellule devrait donc contenir la formule : =VAR. S(votre_plage:de_données).