Théorème : Soit I un intervalle et f:I→R f : I → R une fonction continue. Alors f admet une primitive sur I . De plus, si a est un point de I , alors la primitive de f sur I qui s'annule en a est la fonction définie pour tout x∈I x ∈ I par F(x)=∫xaf(t)dt.
Condition suffisante d'existence d'une primitive
Si f est une fonction continue sur l'intervalle [a,b], alors f admet une primitive F définie pour tout x ∈ [ a , b ] x \in \left[a,b\right] x∈[a,b] par F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t F(x) = \int_{a}^{x}f(t)dt F(x)=∫axf(t)dt.
Pour déterminer une primitive de x↦eaxcos(bx) x ↦ e a x cos , on commence par écrire cos(bx)=Re(eibx) ( b x ) = ℜ e ( e i b x ) et donc que eaxcos(bx)=Re(e(a+ib)x) e a x cos ( b x ) = ℜ e ( e ( a + i b ) x ) .
Intégrales et primitives
Alors l'ensemble des primitives de est constitué par les fonctions définies sur I par : G ( x ) = F ( x ) + k , où est une constante réelle. De plus, pour deux valeurs réelles et données, il existe une unique primitive de telle que G ( x 0 ) = y 0 .
Dans le menu « Analyse », choix 3 « Intégrale ». Ne pas remplir les paramètres a et b permet d'obtenir une primitive de la fonction f. Recommencer en déclarant les bornes inférieure et supérieure, ce qui donne une valeur exacte. Appuyer sur la touche « ctrl » puis « entrée » pour obtenir une valeur approchée.
Ainsi, toutes les primitives de f (x) = 2x sont de la forme F (x) = x2 + C (C est une constante).
On parle souvent d'UNE primitive car chaque fonction en possède une infinité : dans la mesure où la dérivée d'une constante est nulle, l'expression f(x)=2x f ( x ) = 2 x peut avoir pour primitive aussi bien x2 que x2+1, x 2 + 1 , x2+200 x 2 + 200 ou x2−ln5.
Pour déterminer l'ensemble des couples ordonnés qui représentent 𝑓 , on prend simplement chacun des éléments de l'ensemble de définition 𝑋 et on leur applique 𝑓 , l'un après l'autre, pour constituer des couples de la forme ( 𝑥 ; 𝑓 ( 𝑥 ) ) .
Les fonctions primitives sont également connues sous le terme plus descriptif de primitives. Pour être une fonction primitive, une fonction $F$ F doit être dérivable sur un intervalle ouvert . S'il a une dérivée $F'=f$ F ′= f , alors $F$ F est dit être une fonction primitive ou primitive de $f$ f .
En calcul, une primitive, une dérivée inverse, une fonction primitive, une intégrale primitive ou une intégrale indéfinie d'une fonction f est une fonction différentiable F dont la dérivée est égale à la fonction originale f . Cela peut être énoncé symboliquement comme F' = f.
La différence entre primitive et intégrale est qu'une primitive est une fonction tandis qu'une intégrale est un réel exprimé comme une aire algébrique (pouvant être négatif).
Théorème : Soit I un intervalle et f:I→R f : I → R une fonction continue. Alors f admet une primitive sur I . De plus, si a est un point de I , alors la primitive de f sur I qui s'annule en a est la fonction définie pour tout x∈I x ∈ I par F(x)=∫xaf(t)dt. F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t .
pour tout x dans l'intervalle [a, b]. f(t)dt. Lorsqu'on trouve une primitive d'une fonction f dans une table, ou qu'elle se déduit des tables à partir de quelques calculs algébriques, il n'y a rien d'autre à faire : L'intégrale est donnée par la Formule de Newton-Leibniz. (e2x + sin(x))dx.
Une fonction F est une primitive d'une autre fonction f si et seulement si la dérivée F' de la fonction F est égale à f.
La longueur d'un intervalle est la valeur absolue de la différence entre la borne supérieure et la borne inférieure d'un intervalle. On dit aussi l'amplitude de l'intervalle.
Le calcul I couvre les fonctions, les limites, les dérivées et l'intégration . Calculus II couvre l'intégration, les équations différentielles, les séquences et séries, ainsi que les équations paramétriques et les coordonnées polaires.
Toutes les fonctions ont-elles des primitives ? Tous les polynômes le font, ainsi que de nombreuses autres fonctions. En effet, toutes les fonctions continues ont des primitives . Mais ce n’est pas le cas des fonctions non continues.
En bref, une intégrale peut être appelée une primitive car l'intégration est l'opposé de la différenciation . Voici une bonne façon d'y penser géométriquement : si nous définissons une « fonction d'aire » de f′(x) , que nous appellerons f(x) , l'aire d'une petite bande de largeur Δx est simplement f(x+ Δx)−f(x) f ( x + Δ x ) − f ( x ) .
La primitive est une intégrale indéfinie . La réponse que j'ai toujours vue : une intégrale a généralement une limite définie alors qu'une primitive est généralement un cas général et aura le plus toujours un +C, la constante d'intégration, à la fin.
Pour trois ensembles P, Q et R , n ( PUQUR ) = n ( P ) + n ( Q ) + n ( R ) – n ( P ⋂ Q ) – n ( Q ⋂ R ) – n ( R ⋂ P ) + n ( P ⋂ Q ⋂ R )
Propriétés algébriques
L'union est associative, c'est-à-dire que, pour des ensembles A, B et C quelconques, on a : (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C). L'union est commutative, c'est-à-dire que, pour des ensembles A et B quelconques, on a : A ∪ B = B ∪ A.
L'ensemble ℚ a été défini par Peano, il vient de l'italien quotiente (la fraction). Il définit l'ensemble des nombres rationnels (exemples : -3 -2,5 0 1,25 1/3 2,666). Le nombre peut être décimal limité (3/4 = 0,75) ou périodique (2/3 = 0,666...). ℤ est inclus dans ℚ.
Il n'y a pas de méthode donnant les primitives de √U pour le cas où U est une fonction quelconque. Il n'existe pas de formules générales d'intégration comme il existe des formules générales de dérivation. Tout au plus peut on trouver des cas particuliers, comme les formes U′U, U′U², etc.
Cela signifie qu'une primitive de 𝑓 ( 𝑥 ) = 0 est une constante 𝐹 ( 𝑥 ) = C ; ou encore, on peut dire que la primitive de 𝑓 ( 𝑥 ) = 0 est 𝐹 ( 𝑥 ) = C pour tout C ∈ ℝ .
Intégrale et primitives
L'intégrale de la fonction nulle est nulle sur tout intervalle inclus dans l'ensemble des réels ; les primitives de la fonction nulle (sur ℝ) sont donc les fonctions constantes.