Comme pour les entiers, les polynômes premiers entre eux sont caractérisés par la propriété suivante : Théor`eme 3.14 (de Bezout pour les polynômes) Deux polynômes A et B ∈ K[X] sont premiers entre eux si et seulement s'il existe U, V ∈ K[X] tels que : 1 = AU + BV.
– Si tous les coefficients ai sont nuls, P est appelé le polynôme nul, il est noté 0. – On appelle le degré de P le plus grand entier i tel que ai = 0 ; on le note degP. Pour le degré du polynôme nul on pose par convention deg(0) = −∞. – Un polynôme de la forme P = a0 avec a0 ∈ K est appelé un polynôme constant.
Pour cela, on utilise le tableau de Horner : On commence par reporter les coefficients du polynôme (1) dans la première ligne dans l'ordre des exposants décroissants. On place la racine évidente dans la case de gauche sur la deuxième ligne. On reporte le premier coefficient dans la première case de la troisième ligne.
Un polynôme nul est un polynôme dont tous les coefficients sont nuls, y compris le coefficient constant.
Méthode 1 : en connaissant une racine a du polynome p (possiblement une racine évidente), alors le polynome peut se factoriser par (x−a) , soit p=(x−a)⋅q(x) p = ( x − a ) ⋅ q ( x ) avec q(x) un polynôme de degré 2 (méthode de factorisation ci-dessus).
En algèbre commutative, le degré d'un polynôme (en une ou plusieurs indéterminées) est le degré le plus élevé de ses termes lorsque le polynôme est exprimé sous sa forme canonique constituée d'une somme de monômes. Le degré d'un terme est la somme des exposants des indéterminées qui y apparaissent.
En mathématiques, une racine d'un polynôme P(X) est une valeur α telle que P(α) = 0. C'est donc une solution de l'équation polynomiale P(x) = 0 d'inconnue x, ou encore, un zéro de la fonction polynomiale associée. Par exemple, les racines de X2 – X sont 0 et 1.
x1 = (−b − √Δ ) / (2a) et x2 = (−b + √Δ ) / (2a) ; - Si Δ = 0, alors l'équation admet une solution réelle double notée x0. On a alors : x0 = −b / (2a).
La forme ax2 + bx + c est appelée la forme développée de f. On admet que cette forme est unique. Soit a, b et c, trois réels où a ≠ 0. Cette forme est appelée la forme canonique du polynôme.
Définition : Discriminant d'une équation du second degré Si Δ est strictement positif, alors il y a deux solutions réelles à l'équation du second degré. Si Δ = 0 , alors il y a une solution réelle (répétée). Et si Δ est strictement négatif, alors il n'y a pas de solutions réelles.
Les polynômes sont des expressions algébriques contenant un ou plusieurs termes. Un polynôme est en fait la somme ou la différence algébrique de plusieurs monômes. On utilise couramment le mot « polynôme » pour désigner les expressions contenant plusieurs termes. Ces termes peuvent être constants ou algébriques.
En algèbre, un monôme est un polynôme dont un seul coefficient est non nul. Autrement dit, c'est un polynôme particulier qui s'exprime sous la forme d'un produit d'indéterminées (notées X, Y…) affecté d'un coefficient. sont des monômes en une indéterminée.
Le coefficient dominant d'un polynôme est le coefficient de son monôme de plus haut degré. Le coefficient constant d'un polynôme est le coefficient de son monôme de degré 0. Soit le polynôme P(x)=3x2-5x+7. Son coefficient dominant est 3 et son coefficient constant est 7.
Une fonction polynôme de degré 2 f est définie sur ℝ par f (x) = ax2 + bx + c, où a, b et c sont des nombres réels donnés et a ≠ 0.
Si x1 et x2 sont les racines d'un polynôme du second degré ax2 + bx + c, alors il se factorise sous la forme a(x − x1)(x − x2). Si x0 est l'unique racine d'un polynôme du second degré ax2 + bx + c, alors il se factorise sous la forme a(x − x0)2.
Calcul du discriminant : ∆ = b2 −4ac = ( √2)2 −4(1)(1) = −2. Le discriminant est strictement négatif, la règle est donc "toujours du signe de a", c'est à dire toujours positif car a = 1.
Si a≠0 alors le monôme ax2 est présent. Si a≠0 alors nous avons une fonction polynôme de degré 2. Si a=0 et b≠0 nous avons affaire à une fonction polynôme de degré 1, que l'on appelle une fonction affine.
Polynôme : qu'est-ce que c'est ? Somme d'expressions algébriques formées par des termes où figurent une ou plusieurs variables. Exemple : 3X3 + 56X2 + 2 est un polynôme de la variable X.
On peut réécrire l'expression e, qui est simplement 0, sous la forme 0 ? , donc 0 est un monôme.
On peut remarquer que √0=0, √1=1, √4=2, √9=3, √16=4, …
+ β , où α et β sont deux nombres réels. Cette dernière écriture s'appelle la forme canonique de f. avec α = − b 2a et β = − b2 − 4ac 4a .
1. Conforme, relatif à des canons de l'Église. 2. Conforme à des règles, à une norme : Une phrase canonique.
Si un polynôme P de degré 3 admet une racine réelle α , alors ce polynôme est factorisable par (x −α). on a alors : P(x) = (x −α)×Q(x) où Q(x) est un polynôme de degré 2. Utilisation : Le polynôme P(x) = x3 −4x2 −7x +10 admet comme racine évidente le nombre 1.