Si un polynôme P de degré 3 admet une racine réelle α , alors ce polynôme est factorisable par (x −α). on a alors : P(x) = (x −α)×Q(x) où Q(x) est un polynôme de degré 2. Utilisation : Le polynôme P(x) = x3 −4x2 −7x +10 admet comme racine évidente le nombre 1.
4x² -25 =(2x)² – 5² = (2x – 5)(2x +5) , 4x² +20x +25 = (2x +5)², 4x²-20x +25= (2x-5)²
La méthode de Cardan
Le but est donc de trouver une formule qui permettrait de résoudre des équations de ce type pour n'importe quelle valeur de c et d. L'algorithme est fini. Nous venons de trouver la formule permettant de calculer une racine de n'importe quel polynôme du 3 e degré sous la forme f(x)=x3+c⋅x+d.
Si x1 et x2 sont les racines d'un polynôme du second degré ax2 + bx + c, alors il se factorise sous la forme a(x − x1)(x − x2). Si x0 est l'unique racine d'un polynôme du second degré ax2 + bx + c, alors il se factorise sous la forme a(x − x0)2.
On appelle racine du trinôme f, tout réel qui annule f. Exemple : 1 est une racine du trinôme 2x2 +3x−5, car 2(1)2 +3(1)−5 = 0. Remarque : Chercher les racines du trinôme ax2 +bx+c, revient à résoudre dans R l'équation ax2 +bx+c = 0. On appelle discriminant du trinôme ax2 +bx+c (a = 0), le réel ∆ = b2 −4ac.
L'expression x + 2 + x2 -4 peut s'écrire (x+2) + (x+2)(x-2) ce qui fait apparaitre (x+2) comme facteur commun. Lorsque le facteur commun est identifié il reste à réunir les termes auxquels il est multiplié dans l'expression initiale, on les ajoute dans une parenthèse que l'on multiplie par le facteur commun.
Pour passer de la forme factorisée à la forme générale, il suffit de développer de façon algébrique l'équation de la fonction. Soit l'équation d'une fonction polynomiale de degré 2 sous la forme factorisée: f(x)=4(x−2)(x+7). La forme générale de la fonction est f(x)=4x2+20x−56.
Développer c'est transformer un produit en somme. Factoriser c'est transformer une somme en produit en faisant apparaître son facteur commun. Réduire c'est effectuer dans une expression littérales des calculs possibles. On peut utiliser la distributivé de la multiplication.
Le signe de Δ indique le nombre de racines réelles : si Δ > 0 , alors il y a deux solutions réelles distinctes ; si Δ = 0 , alors il y a une solution réelle répétée ; si Δ < 0 , alors il n'y a pas de solutions réelles.
4) Si Delta est négatif, il n'existe aucune racine réelle pour l'équation, et le polynome n'est pas factorisable.
x1 = (−b − √Δ ) / (2a) et x2 = (−b + √Δ ) / (2a) ; - Si Δ = 0, alors l'équation admet une solution réelle double notée x0. On a alors : x0 = −b / (2a).
Théorème 2 (factorisation)
ax² + bx + c = a(x – x1)(x - x2). Si = 0, le trinôme a une seule racine x0 et admet la factorisation ax² + bx + c = a(x – x0)². On dit alors que x0 est une racine double. Si < 0, le trinôme n'a pas de racine et ne peut pas être factorisé.
Pour cela, dans le cas général, il faut d'abord calculer le discriminant Δ (delta), donné par la formule : Δ = b² - 4ac.
Une fonction (polynôme) de degré 3 est une fonction qui peut s'écrire sous la forme f(x) = ax3 + bx² + cx + d avec a un réel non nul, b, c et d trois réels. La fonction f définie par f(x) = –2x3 + 3x² – 5x + 1 est une fonction du troisième degré. On identifie les coefficients : a = –2 ; b = 3 ; c = –5 ; d = 1.
Le troisième degré : humour, situations ou gags plus difficilement compréhensibles, absurdes ou intellectuels.
Factoriser, c'est transformer une somme ou une différence en un produit. Cela sert lorsqu'il est plus simple de calculer un produit plutôt qu'une somme.
Définition : Une expression factorisée est formée de facteurs. Exemple : Dans le produit 3×4, 3 et 4 sont les facteurs.
➔ Le nombre Δ = b2 - 4ac est appelé discriminant de l'équation (appellation due à Sylvester en 1851, du latin discrimen = séparation) : l'étude de son signe permet de conclure quant au nombre et aux valeurs des racines de l'équation.