Si on suppose la matrice carrée A inversible, alors on calcule (ABCD)(−A−1BIn,nIm,mO)=(OAD−CA−1BC) et donc det(M)det(Im,m)det(In,n)=±det(D−CA−1B)det(A). Si la matrice carrée M est inversible, alors det(M)≠0 et donc, puisque det(A)≠0, on a nécessairement det(D−CA−1B)≠0 : la matrice carrée D−CA−1B est inversible.
On peut déterminer l'inverse d'une matrice carrée M en la multipliant par une matrice carrée de même ordre à coefficients inconnus et résolvant un système d'équations obtenu. Soit la matrice M = \begin{pmatrix} 1 & 3 \cr\cr 1 & 2 \end{pmatrix}.
Inverser une matrice s'effectue de trois manières : trouver une forme AA-1 = I ; Calcul de l'inverse par la méthode du pivot de Gauss : Calcul de l'inverse par la résolution d'un système. Il est donc important de savoir inverser une matrice pour ne pas se retrouver bloqué lors des DST et surtout aux concours.
On peut obtenir un inverse à gauche, de ta matrice 6×3. Ta matrice représente une application linéaire f:K3→K6, où K est le corps de base. En supposant que ta matrice est de rang 3, f est injective sur son image, elle admet donc un inverse à gauche : g:K6→im(f)≃K3 tel que g∘f=idim(f)=I3.
Théorème : Le déterminant d'une matrice triangulaire par blocs dont les blocs sur la diagonale sont des matrices carrées est égal au produit des déterminants des blocs diagonaux. En général, le déterminant de M=(ACBD) M = ( A C B D ) n'est pas det(A)det(D)−det(B)det(C). det ( A ) det ( D ) − det ( B ) det ( C ) .
Ainsi, pour calculer l'inverse, la première étape est de trouver la matrice des mineurs. La deuxième étape est ensuite de trouver la comatrice. Ensuite, la troisième étape consiste à trouver la transposée de la comatrice.
Pour calculer le déterminant d'une matrice 3 × 3 , nous pouvons utiliser la méthode de développement par les cofacteurs en choisissant une ligne ou une colonne spécifique de la matrice, en calculant les mineurs pour chaque élément de celle-ci et en alternant les signes en fonction des cofacteurs.
caractérisation d'une matrice inversible
Elle est inversible si et seulement son déterminant est non nul. De plus si est inversible, det ( M − 1 ) = [ det ( M ) ] − 1 .
Soit A une matrice carrée d'ordre n. On dit que A est une matrice inversible s'il existe une matrice B carrée d'ordre n vérifiant la double égalité : A B = B A = In avec In, la matrice identité d'ordre n. B est une matrice inverse si B = A-1.
Ainsi, nous devons nous assurer que son déterminant n'est pas égal à zéro pour nous assurer qu'il est inversible. Rappelons que le déterminant d'une matrice 2 × 2 est donné par d e t 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 = 𝑎 × 𝑑 − 𝑏 × 𝑐 . Cela conduit à d e t 𝐴 = ( − 3 ) × ( − 3 ) − 2 × 4 = 1 .
Si l'inversion d'une matrice apparaît comme un exercice rébarbatif lorsqu'il est réalisé « à la main », elle ouvre de vastes perspectives pour la résolution de systèmes de plusieurs équations grâce à un emploi aisé des calculatrices et logiciels.
Pour inverser une matrice de taille n×n, il faut faire 2 inversions et 4 multiplications de matrices de taille deux fois plus petite, plus un certain nombre d'opérations quadratiques (addition, soustraction, transposition...).
Un produit de deux matrices carrées est inversible si et seulement si les deux matrices en facteur le sont aussi. Les matrices de permutation, transvection, symétrie ou rotation et les matrices de passage sont toujours inversibles.
Définition : Carré d'une matrice
-à-d. 𝑎 = 𝑎 × 𝑎 ), le carré est obtenu en multipliant la matrice par elle-même.
On peut calculer directement le déterminant de A α en le développant suivant la troisième ligne ou la troisième colonne. Dans ce cas la matrice est inversible et son rang est égal à 3. Lorsque α ∈ { 0 , π } le rang de A α est strictement inférieur à 3.
S'il existe une matrice appartenant à M n ( K ) telle que A B = B A = I n , elle est unique. Cela nous permet de définir l'inverse d'une matrice.
On l'appelle alors souvent pseudoinverse de Moore-Penrose. Lorsque M∗M M ∗ M est inversible, la pseudoinverse est donnée par la formule : M+=(M∗M)−1M∗=M∗(M∗M)−1.
La convention consiste à déterminer d'abord le nombre de lignes puis le nombre de colonnes. L'ordre d'une matrice est écrit comme le nombre de lignes par le nombre de colonnes. La matrice 𝐴 n'a qu'une seule ligne. Nous écrivons donc un pour la première valeur de l'ordre.
Toute matrice carrée qui admet 0 pour valeur propre n'est pas inversible car son noyau n'est pas réduit au vecteur nul. La matrice A = ( 1 0 0 0 ) de M 2 ( K ) ( K = R ou K = C ) est une matrice diagonale qui admet pour valeurs propres 1 et 0 donc A n'est pas inversible bien qu'elle soit diagonalisable.
Propriété Toute matrice triangulaire est inversible si et seulement si ses coefficients diagonaux sont non nuls. Son inverse est alors une matrice triangulaire de même sens avec des coefficients diagonaux inverses.
On dit que deux matrices A et B de Mn(K) M n ( K ) sont semblables s'il existe P∈GLn(K) P ∈ G L n ( K ) telle que A=PBP−1 A = P B P − 1 .
Une matrice carrée à coefficients dans K ( K = R ou K = C ) est diagonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur K et, pour chaque valeur propre, la dimension du sous-espace propre associé est égale à son ordre de multiplicité en tant que racine du polynôme caractéristique.
Cas particulier : Si le déterminant a l'ordre 2, revient simplement à faire une différence de produits en croix, un moyen mnémotechnique (dite règle de Sarrus) est utilisé pour le calcul d'un déterminant d'ordre 3.
La matrice identité d'ordre n est la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf ceux situés sur la diagonale principale qui sont eux, égaux à 1 ; on la note In. Pour toute matrice carrée d'ordre n notée A, on dispose des égalités A In = In A = A.