Le théorème qui concerne la majoration du reste et l'encadrement de la somme est énoncé pour le cas d'une série de terme général u n = ( − 1 ) n v n avec v n ≥ 0 , le passage à l'autre cas étant immédiat.
Toujours dans le cas de la convergence, le reste de la série d'ordre n est défini par Rn=+∞∑k=n+1uk. R n = ∑ k = n + 1 + ∞ u k . Remarque : si on a fixé une base (e1,…,ed) ( e 1 , … , e d ) de E , chaque un peut s'écrire un=un(1)e1+⋯+un(d)ed u n = u n ( 1 ) e 1 + ⋯ + u n ( d ) e d .
Théorème : Une série à termes positifs converge si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée. En particulier, on rappelle que si 0≤un≤vn 0 ≤ u n ≤ v n , alors : si ∑vn ∑ v n converge, alors ∑un ∑ u n converge. si ∑un ∑ u n diverge, alors ∑vn ∑ v n diverge.
Pour obtenir une valeur approchée de , une méthode consiste à lui associer une série dont la somme est . La convergence plus ou moins rapide de la série donne pour une valeur approchée plus ou moins bonne pour un nombre de termes calculés.
Si la suite est convergente, on dit que la série de terme général (ou série ∑ u n ) est convergente. La limite, notée , de la suite est la somme de la série ∑ u n . On écrit alors : s = ∑ 0 + ∞ u n .
Le réel ℓ s'appelle la limite supérieure de la suite (un) . On le note limsupn→+∞un. lim sup n → + ∞ u n . Si la suite (un) n'est pas bornée, alors pour tout entier n , sup{uk: k≥n}=+∞ sup { u k : k ≥ n } = + ∞ et on pose limsupnun=+∞.
Pour trouver la limite d'une série, il faut déterminer l'expression de sa somme partielle et d'étudier la suite définie par cette somme partielle.
Médiane : la valeur centrale d'une série statistique dont les valeurs observées ont été rangées dans l'ordre croissant, est la valeur qui partage la population étudiée en deux sous-ensembles de même effectif (si le nombre d'observations n est pair, la médiane est la demi-somme des termes de rang n et n + 1).
Pour calculer la somme d'une série ∑nun ∑ n u n , écrire la suite (un) sous une forme "télescopique", un=vn−vn−1 u n = v n − v n − 1 , les termes en (vn) se simplifient alors (voir cet exercice).
La relation x ≥ y se dit x est supérieur ou égal `a y. Si x ≤ y, on dit que x minore y ou que y majore x. Soit E un sous-ensemble de R, on dit a est un majorant de E si a majore tous les éléments de E. Par exemple, 2 est un majorant de [−1, 1].
On peut utiliser la fonction caractéristique d'un sous-ensemble. Si E est un ensemble quelconque et X⊆E X ⊆ E , définissons χX:E→{0,1} χ X : E → { 0 , 1 } , x∈X↦1 x ∈ X ↦ 1 , x∉X↦0 x ∉ X ↦ 0 .
En d'autres termes, an=a1rn−1 a n = a 1 r n - 1 . C'est la forme d'une séquence géométrique. Remplacez les valeurs de a1=1 a 1 = 1 et r=12 r = 1 2 . Multipliez (12)n−1 ( 1 2 ) n - 1 par 1 .
Afin de déterminer le quotient et le reste d'une division euclidienne, on l'écrit sous la forme a=bq+r avec a (le dividende), b (le diviseur) et q (le quotient) des nombres entiers relatifs et r le reste un nombre entier naturel tel que 0\leq r \lt\left| b \right| .
En mathématiques, le résultat d'une division est un quotient et un reste. Le reste est nul si le quotient des deux nombres de la division est exact, sinon ce quotient est approximatif. Une division est dite euclidienne quand son dividende, son diviseur et son quotient sont des nombres entiers naturels.
Une augmentation de 15 % revient à multiplier par 1 + 15 % = 1 + 15/100 = 1 + 0,15 = 1,15.Il vous reste à multiplier la valeur initiale par 1,15 pour obtenir la valeur finale.
En mathématiques, une série est dite convergente si la suite de ses sommes partielles a une limite dans l'espace considéré. Dans le cas contraire, elle est dite divergente.
La fonction SUM ajoute des valeurs. Vous pouvez ajouter des valeurs individuelles, des références ou des plages de cellules, ou une combinaison des trois. Par exemple : =SOMME(A2:A10) Additionne les valeurs des cellules A2 à A10.
Soit l'expression algébrique 2x + 4xy2 dont les variables x et y prennent des valeurs dans l'ensemble des nombres entiers. La valeur numérique de cette expression, lorsque x = 5 et y = 10, est 2010, soit : 2 × 5 + 4 × 5 × 102 = 2010.
Dans ce cas, il faudra d'abord calculer le centre de chaque intervalle en faisant la moyenne des deux bornes de l'intervalle. Deuxième étape : il faudra multiplier chaque centre d'intervalle par l'effectif correspondant. Enfin, il restera à diviser le résultat par l'effectif total.
L'EFFECTIF d'une valeur est le nombre de données qui ont cette valeur (nombre de fois où cette valeur apparaît). L'EFFECTIF TOTAL est le nombre d'individus de la population étudiée, c'est-à-dire le nombre de données collectées. Exemple : On étudie les salaires mensuels des employés d'une start-up.
Dans notre exemple, pour obtenir son effectif annuel, il faut faire le calcul suivant : (2 + 2.7 + 2.8 + 3.7 + 4.7 + 4.8 + … + 5.8) / 12 = X salariés. Très concrètement, l'effectif peut être un nombre arrondi au centième. Par exemple, l'effectif d'une entreprise peut être 4.28.
Si pour tout x, f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) et si les fonctions f et h ont la même limite L en k, alors la limite de la fonction g en k est aussi L. C'est ce théorème que l'on utilise pour établir que la limite de sin(x)/x quand x tend vers 0 est égale à 1.