– Si le coefficient dominant est 1, on dit que P est un polynôme unitaire. P(X) = (X −1)(Xn + Xn−1 +···+ X +1).
Si ∀x ∈ R, P(x)=0, alors tous les coefficients ai sont nuls. C'est un cas particulier d'unicité de l'écriture d'un polynôme.
Un polynôme, en algèbre générale, à une indéterminée sur un anneau unitaire est une expression de la forme : où X est un symbole appelé « indéterminée du polynôme », supposé être distinct de tout élément de l'anneau, les coefficients ai sont dans l'anneau et n est un entier naturel.
Deux polynômes de sont égaux si et seulement si tous leurs coefficients sont égaux. En particulier, un polynôme est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls.
En mathématiques, un polynôme constant est un polynôme dont tous les coefficients sont nuls à l'exception éventuelle du coefficient constant. Un polynôme nul est un polynôme dont tous les coefficients sont nuls, y compris le coefficient constant.
Pourvu que A soit un anneau intègre, c'est-à-dire si le produit de deux éléments non nuls de A n'est jamais nul, alors on dit qu'un polynôme P∈A[x] est irréductible s'il est de degré au moins 1 et si la seule façon d'avoir P=QR avec Q,R∈A[x] est que l'un des deux polynômes Q et R soit une constante (c'est-à-dire de ...
Dans la suite, K est un corps, par exemple K=R ou C . On dit qu'un polynôme P de K[X] est irréductible s'il est non constant, et si ses seuls diviseurs sont les polynômes constants et les polynômes qui lui sont associés, c'est-à-dire les polynômes de la forme λP, avec λ∈K∗ λ ∈ K ∗ .
Pour déterminer le PGCD de deux polynômes on applique l'algorithme d'Euclide, utilisant les divisions euclidiennes successives des polynômes et les résultats suivants : dans la division euclidienne de F par G , si F = G Q + R , alors P G C D ( F , G ) = P G C D ( G , R ) = P G C D ( G , λ R ) où λ est un scalaire non ...
Et un polynôme est divisible par un autre polynôme si le quotient du premier par le deuxième est un polynôme. par exemple, 6 x 2 3 x = 2 x et 6 x 2 2 x = 3 x , donc 6 x 2 est divisible par et par . En revanche, 4 x 2 x 2 = 2 x , donc n'est pas divisible par 2 x 2 .
Une fonction polynôme de degré 2 f est définie sur ℝ par f (x) = ax2 + bx + c, où a, b et c sont des nombres réels donnés et a ≠ 0.
Les exposants dans les monômes, les binômes, les trinômes et les polynômes sont toujours des nombres naturels. 3x1/2+2x−4 3 x 1 / 2 + 2 x − 4 n'est pas un polynôme puisque l'exposant de la variable x n'est pas un nombre naturel.
Définition 6 : On dit qu'un polynôme P est factorisable par (x − a) s'il existe un polynôme Q tel que pour tout x réel : P(x) = (x −a)Q(x) .
Proposition : Si a1,…,ap a 1 , … , a p sont des racines distinctes de P , alors (X−a1)⋯(X−ap) ( X − a 1 ) ⋯ ( X − a p ) divise P . Un polynôme de degré n≥0 n ≥ 0 admet au plus n racines.
Pour démontrer l'unicité d'un élément satisfaisant une propriété, la méthode la plus courante consiste à introduire deux variables pour lesquelles la propriété est satisfaite (« Soit x et x′ tel que … »), puis à démontrer l'égalité entre ces deux variables.
Si P=∑n≥0anXn P = ∑ n ≥ 0 a n X n n'est pas nul, il existe un plus grand indice n∈N n ∈ N tel que an≠0 a n ≠ 0 . Cet entier s'appelle le degré de P , noté deg(P) .
Si P est un polynôme, on appelle coefficient dominant de P le coefficient devant le monôme de plus haut degré. Donc, si P s'écrit anXn+⋯+a0 a n X n + ⋯ + a 0 , avec an≠0 a n ≠ 0 , le coefficient dominant de P est an .
Comparer deux nombres, c'est dire s'ils sont égaux (=), si l'un est inférieur à l'autre (<), ou si l'un est supérieur à l'autre (>). Pour comparer deux nombres entiers, on utilise un tableau. Si les deux nombres ont autant de chiffres, on compare les chiffres colonne par colonne, en commençant par la plus grande unité.
On multiplie/divise les 2 membres par un nombre strictement positif, on garde le sens de l'inégalité. On multiplie/divise les 2 membres par un nombre strictement négatif, on change le sens de l'inégalité.
Comparer deux nombres, c'est dire s'ils sont égaux ou si l'un est supérieur ou inférieur à l'autre. Le signe = se lit « est égal à » et signifie « a la même valeur que ». Le signe > se lit « est supérieur à » et signifie « est plus grand que ».
Le degré du polynôme nul est, soit laissé indéfini, soit défini comme étant négatif (habituellement, −1 ou −∞). Comme toute valeur constante, la valeur 0 peut être considérée comme un polynôme (constant), appelé le polynôme nul. Il n'a aucun terme non nul et ainsi, de façon rigoureuse, il n'a pas de degré non plus.
Définition de binôme nom masculin
Mathématiques Polynôme composé de deux termes (somme algébrique de deux monômes*). Le binôme 5x3– 2x.
2. Les polynômes irréductibles de C[X] sont les polynômes de degré 1. 3. Si P et Q appartiennent à C[X], alors P divise Q si et seulement si toute racine de P de multiplicité k est racine de Q de multiplicité au moins k.
Les polynômes irréductibles de R[X] sont les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 dont le discriminant est strictement négatif. X4+1 est irréductible dans R[X] car de degré 4 et il n'a aucune racine réelle. ∀x∈R x4+x2+1>0 donc P n'a pas de racines dans R ni dans Q.
Pour décomposer un polynôme P∈C[X] P ∈ C [ X ] en produits d'irréductibles de C[X] , on trouve des racines b1,…,bq b 1 , … , b q de P en cherchant des racines évidentes, en utilisant les résultats que l'on connait sur les nombres complexes (résolution des équations de degré 2, recherche de racines n -ièmes) ou en ...
Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n'ont aucun diviseur commun (autre que 1). Pour rendre irréductible une fraction, on simplifie le numérateur et le dénominateur par leur(s) diviseur(s) commun(s).