Si l'on veut montrer qu'une assertion du type « ∀x ∈ E P(x) » est vraie alors pour chaque x de E il faut montrer que P(x) est vraie. Par contre pour montrer que cette assertion est fausse alors il suffit de trouver x ∈ E tel que P(x) soit fausse. (Rappelez-vous la négation de « ∀x ∈ E P(x) » est « ∃x ∈ E non P(x) ».)
En logique, une proposition (ou assertion) est une phrase à laquelle on peut attribuer une valeur de vérité (vrai ou faux). On note 1 le vrai, et 0 le faux. Exemple. « π est un nombre entier » est une assertion fausse.
Définition 2 Une assertion est compl`ete si toutes les variables sont quantifiées par un quantifi- cateur ∀ ou ∃. – (∀x ∈ E) se lit quel que soit x appartenant `a E, ou pour tout x dans E. – (∃x ∈ E) se lit il existe un élément de E tel que. Exemple 3 ((∀x ∈ R)(x > 1)) est une assertion compl`ete.
Cette assertion se décompose de la manière suivante : “(Il existe x ∈ R+) (f(x) ⩽ 0)". La négation de la première partie est : “(pour tout x ∈ R+)", et celle de la seconde est :“(f(x) > 0)". Donc la négation de l'assertion complète est : “Pour tout x ∈ R+, f(x) > 0".
Si p = 1 et q = 0 alors on a alors "p n'implique pas q" donc (p=>q) prend la valeur 0. Enfin si p = 0 alors on se fiche pas mal de connaitre la valeur de q puisque (p => q) reste vrai ; c'est pourquoi (p => q) prend la valeur 1.
L'implication était connue dès la Grèce antique, notamment par les stoïciens sous une forme telle que : « Du vrai suit le vrai… Du faux suit le faux… Du faux suit le vrai… Mais du vrai, le faux ne peut s'ensuivre ».
L'implication de Q par P est la proposition (¬P) ∨ Q, notée « P ⇒ Q » ou « P implique Q » qui est fausse seulement si la proposition P est vraie et la proposition Q est fausse. L'implication est vraie dans tous les autres cas.
Améliorer sa logique mathématique. Les jeux de stratégie permettent d'acquérir une logique mathématique. Si certains élèves montrent davantage de facilité à structurer, organiser, faire des schémas, c'est qu'ils ont été stimulés dès leur plus jeune âge. L'esprit mathématique se développe dès le plus jeune âge.
Pour développer votre raisonnement logique, prenez 5 minutes tous les jours pour compléter une suite logique de nombres. Ce test psychotechnique et d'autres tests similaires vous aideront à réfléchir suivant des schémas logiques, et ceci deviendra un automatisme chez vous.
Définition - Une tautologie (ou loi logique) est une proposition composée qui est vraie quelles que soient les valeurs de vérité des propositions simples qui la composent.
Une assertion est un énoncé présenté comme vrai mais qui n'est pas encore vérifié voire non vérifiable, et potentiellement faux.
Définition : On dit que la proposition P est équivalente à la proposition Q, et on note P ⇔ Q, si P implique Q et Q implique P. Vocabulaire : pour dire que P est équivalente à Q, on dit aussi que P est vraie si et seulement si Q est vraie. On dit également que P est une condition nécessaire et suffisante de Q.
Un contre-exemple ou contrexemple est un exemple particulier et concret qui contredit une affirmation, un énoncé, une conjecture, une règle générale, une loi. Exemple : Affirmation : Toutes les tomates sont rouges. Or, il existe au moins une variété de tomates jaunes, les tomates ananas.
Une proposition est un énoncé mathématique complet qui est soit vrai soit faux. Par exemple, "23 ≥ 10" est une proposition fausse; "Dans tout triangle rectangle, le carré de l'hypothénuse est égale à la somme des carrés des deux autres côtés" est une proposition vraie.
On dit que A implique B si B est vrai d`es que A est vrai. On note A =⇒ B. Deux énoncés A et B sont équivalents si A implique B et B implique A. On note alors A ⇐⇒ B et on dit que ”A est équivalent `a B”, on encore que ”A est vrai si et seulement si B l'est”.
La démonstration est la démarche adoptée par les mathématiciens pour apporter une preuve de leurs affirmations. Cette démarche suit des règles qui permettent d'éviter les pièges cités précédemment. L'apprentissage de la démonstration est progressif au collège.
L'obéissance, le conformisme, l'erreur de disponibilité, la folie organisationnelle, la cohérence hors place, l'effet de halo, l'effet de spectateur, les stéréotypes… sont quelques-unes des caractéristiques de notre pensée qui sont étudiées comme sources possibles de notre façon erronée de raisonner.
L'intelligence logique (ou "logico-mathématique", selon la terminologie de Gardner) est indissociable d'une aptitude à l'analyse, à la dissertation intellectuelle. Les personnes à l'esprit rationnel sont capables de raisonner de façon séquentielle. Un bon atout managérial.
Parlez avec votre enfant, lisez-lui des histoires, laissez-le explorer l'endroit où il vit et donnez-lui du matériel varié pour jouer. Cela l'aidera à développer son raisonnement. De bonnes capacités de raisonnement aideront l'enfant à mieux comprendre les situations et à avoir de meilleures relations avec les autres.
Le plus judicieux est alors de choisir les SVT et la physique-chimie, et de prendre en plus l'option mathématiques complémentaires. Autre exemple : pour être sûr d'être pris en prépa maths sup, il faut faire attention aux matières choisies en fin de seconde.
Pour démontrer qu'une implication est fausse, il suffit de prendre un exemple pour lequel elle ne fonctionne pas. C'est le principe du contre-exemple. Reprenons notre proposition « ab > 0 ⇒ a > 0 et b > 0 » est fausse car si a = -1 et b = -2, alors ab = 2, donc ab > 0.
L'implication Q ⇒ P s'appelle la réciproque (ou l'implication réciproque) de l'implication P ⇒ Q. La négation de (P ⇒ Q) est (P A Q). La contraposée de (P ⇒ Q) est (Q ⇒ P). La réciproque de (P ⇒ Q) est (Q ⇒ P).
La valeur d'une proposition formés de deux propositions P et Q et d'un connecteur est calculée à partir des valeurs de vérité attribuées à P et à Q. Ainsi la valeur de vérité attribuée à « P et Q » sera « p.q » où « . » est la multiplication. En conséquence, P et Q est vrai si et seulement si P et Q sont chacun vrais.