Une fonction đ est dite inversible si elle est bijective (c'est-Ă -dire, elle est Ă la fois injective et surjective), c'est-Ă -dire, si chaque antĂ©cĂ©dent a une image unique et que tout Ă©lĂ©ment de l'ensemble d'arrivĂ©e est associĂ© Ă un Ă©lĂ©ment du domaine de dĂ©finition.
Soient A et B deux ensembles finis. (i) Il existe une fonction injective F : A â B si et seulement |A|â€|B|. (ii) Il existe une fonction surjective F : A â B si et seulement si |A|â„|B|. (iii) Il existe une fonction bijective F : A â B si et seulement si |A| = |B|.
La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole. La fonction inverse est strictement décroissante sur l'intervalle et strictement décroissante sur l'intervalle . La fonction inverse est impaire, donc sa courbe représentative est symétrique par rapport au point O, origine du repÚre.
1. L'application f est bijective si et seulement si il existe une application g : F â E telle que f ⊠g = idF et g ⊠f = idE. 2. Si f est bijective alors l'application g est unique et elle aussi est bijective.
Une fonction f : X â Y est dite bijective ou est une bijection si pour tout y dans l'ensemble d'arrivĂ©e Y il existe un et un seul x dans l'ensemble de dĂ©finition X tel que f ( x ) = y . On dit encore dans ce cas que tout. Ă©lĂ©ment y de Y admet un unique antĂ©cĂ©dent x (par f ).
(3) f est bijective si et seulement si l'image de toute base de E (de type fini) est une base de F, si et seulement s'il existe une base de E (de type fini) dont l'image est une base de F. 2. Dimension du noyau et rang Soit f : E â F est une application linĂ©aire. 2.1.
On va dĂ©montrer directement que f f est bijective en prouvant que, pour tout wâCâ{i} w â C â { i } , l'Ă©quation f(z)=w f ( z ) = w admet une unique solution zâCâ{â3} z â C â { â 3 } . Pour cela, on remarque que izâiz+3=wâșizâi=wz+3wâș(iâw)z=3w+i.
Pour montrer que f n'est pas surjective, il suffit de trouver un Ă©lĂ©ment y de F qui n'a aucun antĂ©cĂ©dent. Soit u : R ââ R+ l'application telle que u(x)=0si x < â1 et u(x) = x + 1 si x â©Ÿ â1. Les rĂ©els â1 et â2 sont distincts et ont la mĂȘme image : u(â1) = u(â2) = 0. Donc u n'est pas injective.
Notion de bijection
Si I est un intervalle et f continue sur I alors d'aprÚs le théorÚme des valeurs intermédiaires, f (I) est un intervalle. De plus, par définition : quel que soit y élément de f (I), il existe au moins un x de I tel que : y = f (x).
Pour montrer que f est une application linĂ©aire, il suffit de vĂ©rifier que f(u + λv) = f(u) + λf(v) pour tous u, v â E,λ â K.
Parité La fonction inverse est impaire. La représentation graphique de la fonction inverse admet l'origine du repÚre pour centre de symétrie.
Lorsque pour tout x de l'ensemble de définition f (-x)= - f (x), on dit que la fonction f est impaire et l'origine du repÚre est le centre de symétrie de la courbe représentative. La fonction inverse est donc impaire.
La fonction inverse ne s'annule pas et n'admet pas de maximum ou minimum sur â*, ni mĂȘme sur ]ââ, 0[ ou sur ]0, +â[. Elle a pour limite 0 en +â et en ââ.
Soit une application linéaire du vectoriel dans le vectoriel , l'application est surjective si et seulement si son image est égale à l'espace . l'application est injective si et seulement si son noyau ne contient que le vecteur nul.
On va dĂ©terminer la rĂ©ciproque par intervalles. Remarquons d'abord que f f dĂ©finit une bijection de ]ââ;1[ ] â â ; 1 [ dans ]ââ;1[ ] â â ; 1 [ par la formule f(x)=x f ( x ) = x . La bijection rĂ©ciproque est donnĂ©e par fâ1(y)=y f â 1 ( y ) = y .
D'aprĂšs le thĂ©orĂšme des fonctions rĂ©ciproques, la fonction est dĂ©rivable en tout point image d'un tel que. Mais on a : f âČ ( x ) = 0 â x = 0 , donc est dĂ©rivable en tout point autre que. Donc est dĂ©rivable sur. ReprĂ©sentation graphique de et de dans un repĂšre orthonormĂ©.
Si f est continue, dĂ©rivable et strictement monotone sur I, alors f : I â f(I) est une bijection et sa rĂ©ciproque est dĂ©rivable. Exercice 3 Soit f et g deux fonctions dĂ©finies sur un in- tervalle I â R.
Une application f de X dans Y est dite surjective si pour tout élément y de Y, il existe au moins un élément x de X tel que y = f(x), ce qui s'écrit formellement : .
On dit qu'une fonction f est bijective si elle est injective et surjective. Exemples : f:RâR:xâŠ3x est bijective. f:ZâZ:zâŠ3z n'est pas bijective car elle n'est pas surjective.
Pour montrer qu'un endomorphisme f â L(E) est bijective, il suffit de montrer que f est injectif (en montrant par exemple que Ker(f) = {0E}) ou que f est surjectif (en montrant Im(f) = F).
Un argument d'un nombre complexe non nul z est une mesure en radian de l'angle orientĂ© Ξ tel que cos(Ξ)=âŁzâŁRe(z) et sin(Ξ)=âŁzâŁIm(z). Il est dĂ©terminĂ©, en fonction des valeurs du cosinus et du sinus, grĂące au tableau suivant.
Une application de â dans â est bijective si et seulement si son graphe intersecte toute droite horizontale en exactement un point. Pour qu'une application d'un ensemble fini dans lui-mĂȘme soit bijective, il suffit qu'elle soit injective ou surjective (elle est alors les deux).
Un endomorphisme est bijectif lorsqu'il est à la fois injectif et surjectif. Cette définition de la bijectivité comme la conjonction de l'injectivité et de la surjectivité n'est pas spécifique aux endomorphismes.
DĂ©finition. On dit qu'une application linĂ©aire f : Rn â Rm est injective si deux vecteurs diffĂ©rents ont des images diffĂ©rents surjective Si Im(f ) atteint tout l'espace d'arrivĂ©e Rm. bijective (ou bien un automorphisme) si n = m et que f est inversible.
2) Variations PropriĂ©tĂ© : La fonction inverse est dĂ©croissante sur ]ââ ; 0[ et sur ]0 ; +â[. < 0. Donc / est dĂ©croissante sur ]ââ ; 0[ et sur ]0 ; +â[. 1) En +â On s'intĂ©resse aux valeurs de ( ) lorsque x devient de plus en plus grand.