Toutes les fonctions n'ont pas de primitive. Et une primitive, si elle existe, n'est jamais unique : elle n'est définie qu'à une constante près. Le théorème suivant garantit l'existence d'une primitive lorsque la fonction est continue.
Théorème de continuité sous l'intégrale: Soient I et J deux intervalles de R et f une fonction définie sur I × J vérifiant: 1. pour tout x ∈ I, la fonction t ↦→ f(x, t) est continue par morceaux sur J ; 2. pour tout t ∈ J, la fonction x ↦→ f(x, t) est continue sur I ; 3.
Critères d'intégrabilité
Une fonction réglée est intégrable sur un intervalle fermé. En particulier on en déduit que les fonctions continues, continues par morceaux, monotones ou encore à variations bornées sont toutes intégrables sur un intervalle fermé.
Condition suffisante d'existence d'une primitive
Si f est une fonction continue sur l'intervalle [a,b], alors f admet une primitive F définie pour tout x ∈ [ a , b ] x \in \left[a,b\right] x∈[a,b] par F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t F(x) = \int_{a}^{x}f(t)dt F(x)=∫axf(t)dt.
Cela signifie qu'une primitive de 𝑓 ( 𝑥 ) = 0 est une constante 𝐹 ( 𝑥 ) = C ; ou encore, on peut dire que la primitive de 𝑓 ( 𝑥 ) = 0 est 𝐹 ( 𝑥 ) = C pour tout C ∈ ℝ .
Ainsi, toutes les primitives de f (x) = 2x sont de la forme F (x) = x2 + C (C est une constante).
On retiendra qu'une intégrale peut être positive ou négative mais qu'une aire, elle, est toujours positive.
Théorème : L'intégrale sur un segment d'une fonction continue de signe constant est nulle si et seulement si cette fonction est nulle. Proposition : Soit f:[−a,a]→C f : [ − a , a ] → C une fonction continue par morceaux.
Propriété de positivité
En d'autre termes, l'intégrale d'une fonction positive sur un intervalle est positive, ce qui est logique dans la mesure où elle s'interprète comme une aire (voir le début du cours).
Si f est une fonction continue sur [a, b] et f (a) ≠ f (b), alors, pour tout réel u strictement compris entre f (a) et f (b), il existe au moins un réel c de l'intervalle ouvert ]a, b[ tel que f (c) = u.
Soit f une fonction de deux variables réelles à valeurs réelles et soit D un sous ensemble de R2. On dit que f est continue sur (l'ensemble) D si et seulement si elle est continue en chacun des points de D. f + g est continue en (x0, y0). fg est continue en (x0, y0).
Dérivabilité et continuité
La dérivabilité d'une fonction ne se cherche donc qu'en des points où la fonction est déjà continue. La réciproque de cette affirmation est fausse : il existe des fonctions continues en a mais non dérivables en ce point.
On détermine la limite d'une fonction définie par morceaux à la frontière entre les deux morceaux. Ici les limites à droite et à gauche ne sont pas égales, et donc la limite cherchée n'existe pas.
Théorème Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a ∈ I. Si f est dérivable en a Alors f est continue en a. f(x) = f(a), et donc que f est donc continue en a.
La différence entre primitive et intégrale est qu'une primitive est une fonction tandis qu'une intégrale est un réel exprimé comme une aire algébrique (pouvant être négatif).
Si, pour tout entier naturel n, I_{n+1}-I_{n}\geqslant 0, on en déduit que la suite est croissante. Si, pour tout entier naturel n, I_{n+1}-I_{n}\leqslant 0, on en déduit que la suite est décroissante.
Une fonction réelle f est nulle part continue si son extension hyperréelle naturelle a la propriété que chaque x est infiniment proche d'un y tel que la différence f(x) − f(y) est appréciable (c'est-à-dire non infinitésimale ).
Aire sous la courbe dans le cas des fonctions non positives
Dans le cas des fonctions négatives, l'intégrale vaut bien l'aire entre la courbe et l'axe des abscisses, mais avec un signe négatif devant. Une aire reste toujours positive alors qu'une intégrale d'une fonction négative est négative.
L'intégrale est utilisée pour calculer l'aire située sous une fonction. Cette technique est très utilisée en architecture mais aussi en probabilités continues ou même pour la construction des autoroutes.
Une intégrale impropre est convergente si sa valeur est finie, dans le cas contraire elle est divergente.
Pour déterminer une primitive d'une fonction rationnelle, on décompose celle-ci en une somme d'une fonction polynôme et d'une fonction inverse. Exemple : Soit f\left ( x \right )=\frac{x^{2}+2}{x-3} définie sur ]3\, ;+\infty[. Elle peut s'écrire sous la forme : f\left ( x \right )=ax+b+\frac{c}{x-3}.
La dérivée du produit uv étant donnée par u'v + v'u, uv est une primitive de u'v + v'u sur l'intervalle [a ; b].
Une primitive de u′eu sur I est eu.
Pour cela soit k un réel compris entre f(a) et f(b). On se place dans le cas où f(a) < f(b) (la démonstration est similaire dans l'autre cas : remplacer le mot minimum par le mot maximum) Posons g(x) = F(x) - kx ; g est dérivable donc continue sur [a,b], elle y admet donc un minimum, en un réel c de [a,b].