Un espace topologique séparé est compact si et seulement si toute suite généralisée possède au moins une valeur d'adhérence, autrement dit une sous-suite généralisée convergente. Cette définition équivalente est rarement utilisée. Elle est particulièrement adéquate pour prouver que tout produit de compacts est compact.
On dit que (X, d) est compact s'il a la propriété suivante : pour toute suite (xn) d'éléments de X, il existe une sous-suite (xnk ) qui converge dans X. Un exemple fondamental d'espace compact est donné par un intervalle fermé borné (un segment) de R ou, plus généralement n'importe quelle partie fermée bornée de R.
On appelle intervalle compact de R un intervalle fermé et borné du type [a,b] avec a ≤ b deux réels.
Une partie K de E est dite compacte si, de toute suite (un) d'éléments de K , on peut extraire une sous-suite convergente vers un élément de K . En particulier, toute réunion finie ou toute intersection quelconque de parties compactes est compacte.
Tout espace métrique fini est compact. L'ensemble R des nombres réels n'est pas compact.
En mathématiques, et plus précisément en topologie, on dit d'un espace qu'il est compact s'il est séparé et vérifie la propriété de Borel-Lebesgue. La compacité revêt une importance fondamentale en topologie, et possède des applications dans de nombreux domaines des mathématiques.
Ainsi ℝ n'est pas compact, puisque la fonction identité, qui à x associe x lui-même, est continue mais non bornée. Ce même ensemble, privé du nombre 0 n'est pas davantage compact, comme on le voit en considérant la fonction inverse qui à x associe 1 /x.
Une fonction a un support compact si elle est nulle en dehors d'un ensemble compact . Alternativement, on peut dire qu’une fonction a un support compact si son support est un ensemble compact. Par exemple, la fonction dans tout son domaine (c'est-à-dire ) n'a pas de support compact, alors que toute fonction bump a un support compact.
les compacts de R sont les fermés bornés de R. Concretement, ce sont les ensembles fermés inclus dans un ensemble [a,b]. On ne peut pas les lister exhaustivement je pense. Je pense qu'on peut aussi dire que c'est les unions finies d'intervalles férmés.
Les ensembles compacts se comportent bien en ce qui concerne les fonctions continues ; en particulier, l'image continue d'une fonction compacte est compacte, donc une fonction continue d'un ensemble compact à R doit avoir un minimum et un maximum finis, et doit atteindre chacun de ceux-ci à un moment donné du domaine (le théorème des valeurs extrêmes).
Définition 3.1.1 On dit qe (E,d) est un espace métrique compact si toute suite d'éléments de (E,d) admet une suite extraite convergeant vers un point de E. Une partie A de E est dite compacte si le sous-espace métrique (A, d) est compact.
L'espace métrique X est dit compact si tout revêtement ouvert possède un sous-revêtement fini . 1 Ceci fait abstraction de la propriété Heine-Borel ; en effet, le théorème de Heine-Borel stipule que les sous-ensembles fermés et bornés de la droite réelle sont compacts.
Un intervalle est un sous-ensemble de ℝ contenant tous les nombres réels compris entre deux nombres réels distincts et . Les bornes (extrémités) et peuvent être incluses ou exclues de l'intervalle.
Exemple Tout ensemble fini est automatiquement compact. Exemple La vraie ligne n'est pas compacte . Pour considérer la collection d'intervalles ouverts dans la droite réelle donnée par ...,(−3,−1),(−2,0),(−1,1),(0,2),.... Ces masquer clairement tous les nombres réels, mais aucune collection finie ne peut le faire.
Un espace métrique (M, d) est dit compact s’il est à la fois complet et totalement borné . Comme vous pouvez l’imaginer, un espace compact est le meilleur des mondes possibles. Exemples 8.1. (a) Un sous-ensemble K de ℝ est compact si et seulement si K est fermé et borné.
Rappelons qu’un ensemble est compact si et seulement s’il est complet et totalement borné. Un espace métrique est un espace de Hausdorff, donc les ensembles compacts sont fermés. Un ensemble ouvert compact doit donc être à la fois ouvert et fermé .
Soit (M,d) un espace métrique. Un sous-ensemble K de M est dit compact si et seulement si chaque couverture ouverte de K (par ensembles ouverts dans M) a une sous-couverture finie. Si M lui-même possède cette propriété, alors on dit que M est un espace métrique compact. Nous commençons par le fait que dans tout espace métrique, un sous-ensemble compact est fermé et délimité .
La couverture ouverte n'a pas de sous-couverture finie. ∴ (R,τ6) n'est pas compact. Propriété 7 : R avec la topologie de limite inférieure n'est pas compacte .
Une fonction est dite supportée de manière compacte si son support est un ensemble compact . Pour plus de commodité, nous désignons le sous-espace de L p qui contient toutes les fonctions prises en charge de manière compacte dans L p par L 0 p et notons le sous-espace de C 0 qui contient toutes les fonctions prises en charge de manière compacte dans C 0 par C 00 .
Ainsi on peut aussi dire qu'une fonction de support compact dans Ω est une fonction définie sur Ω telle que son support Λ soit un ensemble borné fermé situé à une distance de la frontière Γ de Ω d'un nombre supérieur à δ>0, où δ est suffisamment petit .
Chaque espace Hausdorff compact est également localement compact , et de nombreux exemples d'espaces compacts peuvent être trouvés dans l'article espace compact.
Si la métrisabilité est la propriété topologique préférée de l'analyste, la compacité est sûrement la propriété topologique préférée du topologue . Les espaces métriques ont de nombreuses propriétés intéressantes, comme être d'abord dénombrables, très séparatifs, etc., mais les espaces compacts facilitent les preuves faciles.
L'intervalle fermé borné [0, 1] est compact et ses maximum 1 et minimum 0 appartiennent à l'ensemble, tandis que l'intervalle ouvert (0, 1) n'est pas compact et ses suprême 1 et minimum 0 n'appartiennent pas à l'ensemble. L'intervalle fermé et illimité [0, ∞) n'est pas compact et n'a pas de maximum. Exemple 5.42. L'ensemble A dans l'exemple 5.
Une partie d'un espace métrique est dite bornée si la distance entre ses points est majorée par un réel fixé, autrement dit si son diamètre est fini. En ce sens, les bornés de la droite réelle sont bien les parties majorées et minorées, c'est-à-dire les parties incluses dans des intervalles bornés.
La topologie étudie des espaces… topologiques !
Par exemple, un cercle, une ellipse et un carré dans le plan sont homéomorphes. De la même manière, une sphère cabossée est homéomorphe à une « vraie sphère ronde ». En revanche, le chiffre 8 n'est pas homéomorphe au chiffre 0.