Deux droites de l'espace sont perpendiculaires si et seulement si elles se coupent en formant un angle droit. Dans l'espace, des droites, non parallèles, peuvent ne pas se couper. Si une des droites est parallèle à une droite perpendiculaire à l'autre alors les deux droites sont dites orthogonales.
En géométrie plane, « orthogonal » signifie « perpendiculaire ». En géométrie dans l'espace, le terme « perpendiculaire » est réservé aux droites orthogonales et sécantes. Deux droites sont orthogonales si leurs parallèles respectives passant par un même point sont perpendiculaires.
Dans l'espace, deux droites sont orthogonales si elles sont chacune parallèles à des droites se coupant en angle droit ; deux perpendiculaires étant deux droites orthogonales et sécantes.
ORTHOGONAL, -ALE, -AUX, adj. GÉOM. Qui forme un angle droit, qui tombe à angle droit.
Deux droites (d) et (d') sont orthogonales si et seulement si leurs parallèles respectives passant par un même point sont perpendiculaires. Soit une droite (d) de vecteur directeur et un plan P. La droite (d) est orthogonale au plan P si le vecteur est orthogonal à tous les vecteurs du plan P.
Deux vecteurs sont dits orthogonaux si leurs directions sont perpendiculaires. Exemple : Sur le schéma ci-dessous, AB est un représentant du vecteur u et AC est un représentant du vecteur v . Comme les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires, les vecteurs u et v sont orthogonaux.
On peut aussi donner un sens à deux parties orthogonales : A et B sont orthogonales si ⟨x,y⟩=0 ⟨ x , y ⟩ = 0 pour tout x∈A x ∈ A et tout y∈B y ∈ B . Pour X⊂E X ⊂ E , X⊥ est alors la plus grande partie de E orthogonale à X .
Definition. - par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur. Les vecteurs et sont dits orthogonaux si les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires.
Quand deux droites se coupent en formant un angle droit, elles sont perpendiculaires.
Deux droites orthogonales ne sont pas nécessairement perpendiculaires, elles ne le sont que si elles sont coplanaires. Deux droites orthogonales à une même troisième ne sont pas nécessairement parallèles. Si deux droites sont parallèles, toute droite orthogonale à l'une est orthogonale à l'autre.
Nécessairement, cela signifie qu'elles sont sécantes et donc coplanaires. DEFINITION: deux droites de l'espace sont orthogonales quand en un point de l'espace, leurs parallèles sont perpendiculaires.
On appelle symétrie orthogonale par rapport à F l'application qui à tout x de E , qui se décompose uniquement en x=y+z x = y + z avec y dans F et z dans F⊥ , associe s(x)=y−z. s ( x ) = y − z .
Pour une droite Δ et un point A∉Δ, le projeté orthogonal du point A sur la droite Δ est le point H∈Δ tel que le vecteur →AH est orthogonal à la droite Δ, c'est-à-dire que →AH est un vecteur normal à la droite Δ.
Les projections orthogonales sont des endomorphismes qui font partie de la classe plus générale des projecteurs, qu'on peut alors considérer, a contrario, comme des projections « obliques ». On se place dans un espace préhilbertien E, de dimension quelconque.
Étymologiquement, colinéaire signifie sur une même ligne : en géométrie classique, deux vecteurs sont colinéaires si on peut en trouver deux représentants situés sur une même droite.
L'orthogonal d'un sous-espace vectoriel engendré par une famille finie de vecteurs de est égal à l'orthogonal de cette famille : si F = V e c t ( { u 1 , u 2 , . . . , u p } ) alors F ⊥ = { u 1 , u 2 , . . . , u p } ⊥ .
Définition et propriété
On appelle projeté orthogonal de M M M sur ( d ) (d) (d) le point d'intersection H H H de ( d ) (d) (d) et de la droite qui lui est perpendiculaire et qui passe par le point M M M. Si M M M appartient à ( d ) (d) (d), alors M M M et H H H sont confondus.
On dit que deux droites sont parallèles lorsqu'elles n'ont pas d'intersection, même si on les prolonge à l'infini. Deux droites qui ne sont pas parallèles sont sécantes. Des droites ou des segments sont perpendiculaires, lorsqu'ils se coupent en formant un angle droit.
[En parlant d'une droite, d'un plan] Qui coupe à angle droit. Perpendiculaire à (une autre droite, un autre plan). Ligne perpendiculaire à un plan (synon. normal, orthogonal).
La relation de perpendicularité entre deux droites se note à l'aide du symbole « ⊥ » qui se lit « est perpendiculaire à ».
Soient U et W des sous-espaces de V . On dit que U et W sont orthogonaux, ce que l'on dénote par U⊥W U ⊥ W , si ⟨x,y⟩=0 ⟨ x , y ⟩ = 0 pour tout x∈U x ∈ U et tout y∈W.
La norme d'un vecteur correspond à sa longueur, c'est-à-dire à la distance qui sépare les deux points qui définissent le vecteur.
Pour cela, on pense à utiliser →n un vecteur normal du plan et →u un vecteur directeur de la droite . Si →n⋅→u=0 alors la droite est parallèle au plan. Si →n⋅→u≠0 alors la droite est sécante au plan. Si →n et →u sont colinéaires alors la droite est perpendiculaire au plan.