En mathématiques, plus précisément en arithmétique et en algèbre générale, la distributivité d'une opération par rapport à une autre est une généralisation de la propriété élémentaire : « le produit d'une somme est égal à la somme des produits ».
Distributivité simple
La multiplication est distributive par rapport à l'addition, c'est-à-dire que : k × (a + b) = k × a + k × b pour tous les nombres k, a et b.
La double distributivité permet de développer un produit de deux sommes algébriques. Soient a, b, c et d des nombres quelconques. On cherche à développer (a+b)(c+d), où a, b, c et d sont des nombres quelconques. Soit un nombre quelconque x.
1) On veut calculer le produit d'un nombre par une somme :
Méthode 2 : on développe le produit. Comme la multiplication est distributive par rapport à l'addition, on a : k × (a + b) = k × a + k × b. Donc 6 × (10 + 2) = 6 × 10 + 6 × 2 = 60 + 12 = 72.
On dit que la multiplication est distributive pour l'addition car on a distribué c aux deux termes de la somme.
Par exemple, dans l'expression 2 × (5 + 3) = (2×5) + (2×3), le facteur 2 est distribué à chacun des deux termes de la somme 5 + 3. L'égalité est alors bien vérifiée : à gauche 2 × 8 = 16, à droite 10 + 6 = 16.
La distributivité permet alors de multiplier chacun des termes de ces parenthèses par la valeur (le facteur) qui se trouve devant. Ce n'est pas très compliqué, mais il ne faut rien oublier en route, sinon vous ne résoudrez pas l'équation.
Définitions pour les règlesde calcul 📚
Pour rappel : Développer c'est transformer un produit en somme. Factoriser c'est transformer une somme en produit en faisant apparaître son facteur commun. Réduire c'est effectuer dans une expression littérale des calculs possibles.
L'intersection est distributive par rapport à l'union : (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C). est exactement équivalent à dire qu'il appartient soit à la fois à C et à A, soit à la fois à C et à B (2è membre). Et réciproquement l'union est distributive par rapport à l'intersection : (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).
La multiplication est associative signifie que ( a × b ) × c = a × ( b × c ) . Toutes les opérations ne sont pas associatives mais la multiplication l'est. Quelle que soit la manière dont on associe les facteurs, le résultat est le même.
Les multiplications et divisions sont effectuées de gauche à droite: Si une multiplication est à gauche d'une division, on effectue d'abord la multiplication. Si une division est à gauche d'une multiplication, on effectue d'abord la division.
Pour factoriser une somme, il faut repérer le facteur commun aux différents termes de la somme. A : le facteur commun est x ; si l'on développe x(x − 5), on retrouve bien x2 − 5x. B : le facteur commun est 2x ; si l'on développe 2x(x − 3 + y), on retrouve bien 2x2− 6x + 2xy.
Multiplier deux polynômes implique l'utilisation des règles sur les puissances et la distributivité de la multiplication sur l'addition. Diviser deux monômes, revient à diviser les coefficients, puis à diviser les variables semblables en soustrayant les exposants.
Lorsque l'on reconnait un facteur commun dans une somme de termes, on peut le factoriser. Le facteur commun est ici $(x + 2)$. On met donc $(x +2)$ en facteur, en ne l'écrivant qu'une fois, puis dans le second facteur on recopie les facteur qui multipliait $(x + 2)$ ainsi que le signe entre les deux termes.
Pour simplifier l'écriture d'une expression littérale, on peut supprimer le symbole × devant une lettre ou une parenthèse. Remarque : On ne peut pas supprimer le signe × entre deux nombres. Exemple : Simplifie l'expression suivante : A = – 5 × x + 7 × (3 × x – 2) × (– 4).
Pour transformer une addition répétée en multiplication, j'observe les nombres à additionner. S'ils sont identiques, je compte le nombre de fois où ce même nombre apparaît. 12+12+12+12= ? → Le nombre 12 apparaît 4 fois.
En géométrie, l'intersection de deux droites est le point (géométrie) du plan où elles se croisent, en d'autres termes : c'est le seul et unique point commun aux deux droites. Les deux droites a et b se croisent en A. A est donc le point d'intersection entre a et b.
Le point d'intersection de deux droites distinctes est le point où elles se rencontrent ou se coupent. C'est le couple de valeurs de 𝑥 et 𝑦 où les droites se coupent sur le graphique et qui vérifie les équations des deux droites.
⋄ un ensemble qui ne contient qu'un seul élément s'appelle un singleton.
On utilise la factorisation avec les identités remarquables lorsque l'on ne peut repérer aucun facteur commun dans l'expression littérale. Les identités remarquables sont utilisées pour le développement mathématique d'expressions numériques. Mais on les utilise également à l'envers pour factoriser.
Ici on peut factoriser l'expression par le nombre 5, c'est un facteur commun aux deux termes de la somme. On obtient bien un produit. Ici on observe un facteur commun, c'est 4x+3. On peut donc le mettre en facteur c'est à dire déterminer par combien on doit le multiplier pour que l'égalité reste vraie.
Développer, c'est transformer un produit en somme algébrique. Réduire une somme algébrique, c'est l'écrire avec le moins de termes possibles. Factoriser, c'est transformer une somme algébrique en produit.
Règles de priorité
Pour calculer une expression numérique sans parenthèses, on effectue les calculs de la gauche vers la droite, en commençant par les multiplications et les divisions qui ont priorité sur les additions et les soustractions.
Pourquoi. Dans un calcul sans parenthèses on effectue les multiplication avant l'addition ? C'est une convention, pas une propriété mathématique. Cela permet d'alléger l'écriture de certaines expressions, puisqu'on peut éviter d'écrire des parenthèses.
L'addition est commutative : On peut changer l'ordre des termes. Par exemple, 4 + 2 = 2 + 4 .