On dit qu'une matrice est de plein rang si le nombre de lignes de la matrice est égal au rang de la matrice.
Si aucune colonne n'est linéairement dépendante des autres colonnes, le rang de la matrice est égal au nombre de colonnes de la matrice et la matrice est dite de rang (colonne) plein. Si le rang est inférieur au nombre de colonnes, la matrice est dite de rang (colonne) incomplet, et la matrice est dite singulière.
Le rang d'une matrice est égal au nombre de ses lignes sauf si l'une d'entre elles est combinaison linéaire des autres. On dira qu'une matrice est facile si l'une de ses colonnes a tous ses nombres nuls sauf exactement un.
le rang d'un système d'équations linéaires est le nombre d'équations que compte tout système échelonné équivalent. Il est égal au rang de la matrice des coefficients du système.
En mathématiques, et en particulier en algèbre linéaire, une matrice nulle est une matrice dont tous les coefficients sont nuls.
Sélectionnez la fonction RANG : Dans "Nombre", entrez le nombre dont il faut déterminer le rang. Dans "Référence", entrez la plage de cellules contenant toutes les valeurs. Dans "Ordre", laissez vide (ou entrez 0) pour un ordre décroissant, entrez une valeur différente de 0 pour un ordre croissant.
Une matrice réelle dont toutes les colonnes sont orthogonales deux à deux est inversible si et seulement si elle n'a aucune colonne nulle. Un produit de deux matrices carrées est inversible si et seulement si les deux matrices en facteur le sont aussi.
On appelle noyaude la matrice A, noté Ker (A) , l'ensemble des matrices colonnes X ∈ Mq,1(R) telles que AX = (0)p×1 .
Une matrice est injective si son noyau est réduit à 0. Une matrice est surjective si son rang est égal à la dimension de l'espace d'arrivée.
Le théorème du rang donne une relation entre la dimension du noyau et la dimension de l'image de f. Dans la pratique, cette formule sert à déterminer la dimension du noyau connaissant le rang, ou bien le rang connaissant la dimension du noyau. Maintenant, par le théorème du rang, dim Kerf = dimR4 − rg f = 4 − 2=2.
La matrice M est diagonalisable si et seulement si la somme des multiplicités géométriques est égale à la taille de M. Or chaque multiplicité géométrique est toujours inférieure ou égale à la multiplicité algébrique correspondante.
Le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du plus petit sous-espace vectoriel contenant tous ces vecteurs.
La similitude est une relation d'équivalence. Deux matrices sont semblables si et seulement si elles représentent le même endomorphisme d'un espace vectoriel dans deux bases (éventuellement) différentes.
Corollaire 1 Si u est un endomorphisme alors u est injective si et seulement si u est sur- jective. Definition 2 On définit alors le rang d'une matrice comme étant la dimension du sous- espace engendré par ses vecteurs colonnes.
En mathématiques, une surjection ou application surjective est une application pour laquelle tout élément de l'ensemble d'arrivée a au moins un antécédent, c'est-à-dire est image d'au moins un élément de l'ensemble de départ. Il est équivalent de dire que l'ensemble image est égal à l'ensemble d'arrivée.
Définition: Une fonction f de E vers F est injective si et seulement si tout élément de F possède au plus un antécédent dans E. Définition: une fonction f de E vers F est surjective si et seulement si tout élément de F possède au moins un antécédent dans E.
Une application est bijective si tout élément de son ensemble d'arrivée a un et un seul antécédent, c'est-à-dire est image d'exactement un élément (de son domaine de définition), ou encore si elle est à la fois injective et surjective. Les bijections sont aussi parfois appelées correspondances biunivoques.
Ker est un appellatif toponymique breton utilisé le plus souvent comme premier élément d'un toponyme. Il désigne un lieu habité, un domaine, un hameau. Il est également courant dans les patronymes bretons.
∀ x ∈ ker(f), f(x)=0. L'ensemble des x forme un sous espace vectoriel de l'ensemble de départ. Im(f) est l'ensemble des y ∈ l'ensemble d'arrivée qui ont un antécédent par f, Im(f) fome aussi un sous espace vectoriel.
Définition Si f : E → F est une application linéaire, son noyau, noté Kerf est l'ensemble des vecteurs de E que f annule : Kerf := {v ∈ E|f (v)=0}.
1. Une matrice A est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des sous-espaces propres est égale à l'ordre de la matrice. 2. Si une matrice carrée A d'ordre n admet n valeurs propres différentes, alors A est diagonalisable.
Matrice singulière
En algèbre linéaire, une matrice carrée est dite singulière si elle n'est pas inversible. Par conséquent, un système d'équations représenté par une matrice singulière n'admet pas de solution unique, car on ne peut pas l'inverser. Aussi, le déterminant de la matrice est nul.
Pour diagonaliser une matrice, une méthode de diagonalisation consiste à calculer ses vecteurs propres et ses valeurs propres. La matrice diagonale D est composée des valeurs propres. La matrice inversible P est composée des vecteurs propres dans le même ordre de colonnes que les valeurs propres associées.