En théorie des probabilités et en statistique, les lois normales sont parmi les lois de probabilité les plus utilisées pour modéliser des phénomènes naturels issus de plusieurs événements aléatoires.
Définition 5. Une variable aléatoire X = t(X1,...,Xn) dans Rn est un vecteur Gaussien, si pour tout a = t(a1,...,an) ∈ Rn, la variable aléatoire réelle 〈a, X〉 = a1X1 + ... anXn est Gaussienne. , alors X = t(X1,...,Xn) est un vecteur Gaussien.
L'écart-type
Il détermine la répartition de points de données par rapport à la moyenne. L'écart-type définit la largeur de la courbe ainsi que la distance entre la moyenne et les points de données. Si la valeur de l'écart-type est faible, la courbe est pointue. S'il est élevé, la courbe s'aplatit.
La loi d'un vecteur gaussien est caractérisée par son vecteur moyenne m et sa matrice de covariance Γ. Elle est appelée loi gaussienne sur Rd et est notée N(m, Γ). La loi N(0, Id) est appelée loi gaussienne standard sur Rd. Un vecteur gaussien ayant cette loi est appelé vecteur aléatoire gaussien standard.
La courbe de Gauss est connue aussi sous le nom de « courbe en cloche » ou encore de « courbe de la loi normale ». Elle permet de représenter graphiquement la distribution d'une série et en particulier la densité de mesures d'une série. Elle se base sur les calculs de l'espérance et de l'écart-type de la série.
Le graphique d'une gaussienne est une forme symétrique caractéristique de "courbe en cloche" . Le paramètre a est la hauteur du pic de la courbe, b est la position du centre du pic et c (l'écart type, parfois appelé largeur RMS gaussienne) contrôle la largeur de la « cloche ».
The Gaussian distribution, also known as the normal distribution, is a continuous probability distribution that is widely used in statistical modeling and Machine Learning. It is a bell-shaped curve that is symmetrical around its mean and is characterized by its mean and standard deviation.
On dit qu'un tel processus est gaussien si, pour tout n-uplet (t1,...,tn) de points de R+, le vecteur aléatoire (Xt1 ,...,Xtn ) est un vecteur gaussien. Dans ce cas, la loi de tous les vecteurs (Xt1 ,...,Xtn ) est enti`erement ca- ractérisée par la donnée de deux fonctions e(t) = E(Xt) et K(s, t) = E(XsXt)− e(s)e(t).
Nous souhaitons prouver que u∗Y est une va gaussienne u∗Y = u∗z + u∗AX = u∗z + v∗X, où nous avons posé v = A∗u . Il s'agit d'un vecteur gaussien. Conclusion : Y est un vecteur gaussien. De plus, mY = E[Y ] = z + AE[X] = z + AmX , et KY = AKX A∗.
L'histoire de la courbe de Gauss remonte à Abraham de Moivre (1667-1754), qui a donné la première version du théorème central limite pour le jeu de pile ou face, en fait une asymptotique des probabilités binomiales.
Dans la régression de crête, un a priori gaussien sur les coefficients de régression signifie que les coefficients sont supposés être distribués selon la distribution gaussienne/normale . Bien entendu, il faut également supposer une structure de moyenne et de covariance.
Grâce à cette propriété, une loi normale permet d'approcher d'autres lois et ainsi de modéliser de nombreuses études scientifiques comme des mesures d'erreurs ou des tests statistiques, en utilisant par exemple les tables de la loi normale centrée réduite.
Il est utile pour résumer de grands ensembles de données (plus de 100 observations). Il peut également faciliter la détection d'observations inhabituelles (valeurs aberrantes) ou les intervalles sans point de donnée.
Vous pouvez tester l'hypothèse selon laquelle vos données ont été échantillonnées à partir d'une distribution normale (gaussienne) visuellement (avec des tracés QQ et des histogrammes) ou statistiquement (avec des tests tels que D'Agostino-Pearson et Kolmogorov-Smirnov).
Un histogramme est un moyen efficace de savoir si une distribution de fréquence semble avoir une distribution normale . Tracez un histogramme et regardez la forme des barres. Si les barres suivent à peu près une forme symétrique en cloche ou en colline, comme dans l'exemple ci-dessous, alors la distribution est à peu près normale.
Pour tester analytiquement la distribution normale de vos données, il existe plusieurs procédures de test, la plus connue étant le test de Kolmogorov-Smirnov, le test de Shapiro-Wilk et le test d'Anderson Darling . Dans tous ces tests, vous testez l'hypothèse nulle selon laquelle vos données sont normalement distribuées.
Non corrélé et conjointement gaussien implique indépendant . Le nombre Cov X,Y donne une mesure de la relation entre deux variables aléatoires. De plus près, nous pourrions voir qu'il décrit le degré de relation linéaire (théorie de la régression). Un grand Cov X,Y correspond à un degré élevé de corrélation linéaire.
Lorsque deux points A et B sont confondus, on dit que le vecteur A B → \overrightarrow{AB} AB est un vecteur nul et on note 0 ce vecteur. Le vecteur nul a une longueur égale à 0, mais n'a ni direction, ni sens.
Deux vecteurs non nuls sont égaux si et seulement si ils ont la même direction, le même sens et la même norme.
En théorie des probabilités et en statistiques, un processus gaussien est un processus stochastique (une collection de variables aléatoires indexées par le temps ou l'espace), tel que chaque collection finie de ces variables aléatoires a une distribution normale multivariée .
Processus de pont brownien. est multivarié normal. X(1) = 0 est également une normale multivariée. Cela montre que le pont brownien est un processus gaussien .
L'indicateur stochastique est un oscillateur comparant le niveau de la clôture du cours d'une action à son « plus haut » et à son « plus bas » enregistrés sur une période donnée.
La distribution normale est également connue sous le nom de distribution gaussienne ou courbe de probabilité en cloche . Il est symétrique par rapport à la moyenne et indique que les valeurs proches de la moyenne se produisent plus fréquemment que les valeurs plus éloignées de la moyenne.
Dans l'apprentissage automatique, la distribution gaussienne joue un rôle crucial sous divers aspects, notamment dans la modélisation probabiliste et l'inférence statistique . Elle est couramment utilisée comme hypothèse fondamentale pour de nombreux algorithmes et modèles.
Par examen des paramètres descriptifs. La première méthode consiste à comparer les paramètres descriptifs calculés dans l'échantillon. Si par exemple la Moyenne = Médiane = Mode, nous pouvons considérer que la distribution des données de l'échantillon suit une loi normale.