En mathématiques, un zéro ou point d'annulation d'une fonction est une valeur en laquelle cette fonction s'annule.
Savoir où une fonction s'annule, c'est connaitre son signe partout. Pour savoir où une fonction est positive par exemple sur regarde d'abord où elle s'annule.
Soit F une primitive de la fonction continue f. On a F(b)-F(a)=0 et l'on peut appliquer le théorème de Rolle pour affirmer que f s'annule sur [a;b].
Énoncé On appelle généralement fonction nulle la fonction constante définie sur l'ensemble des nombres réels ou complexes par : ƒ(x) = 0.
Lorsque la courbe est au-dessus de l'axe 𝑥 des abscisses, le signe de la fonction est positif, quand elle est en dessous de l'axe 𝑥 des abscisses, le signe de la fonction est négatif et à l'intersection avec l'axe 𝑥 des abscisses, le signe de la fonction est nul.
Pour déterminer le sens de variation d'une fonction f , on étudie le signe de sa dérivée : f ′ ( x ) . Pour interpréter ce signe : Si f ′ ( x ) a le signe + sur un intervalle, alors f est croissante sur cet intervalle. Si f ′ ( x ) a le signe - sur un intervalle, alors f est décroissante sur cet intervalle.
En mathématiques, un tableau de signes est un tableau à double entrée qui permet de déterminer le signe d'une expression algébrique factorisée, en appliquant la règle des signes et en facilitant l'organisation du raisonnement.
Théorème : L'intégrale sur un segment d'une fonction continue de signe constant est nulle si et seulement si cette fonction est nulle. Proposition : Soit f:[−a,a]→C f : [ − a , a ] → C une fonction continue par morceaux.
Une partie A d'un espace métrique borné (E,d) est dite bornée s'il existe x∈E x ∈ E et M>0 tel que A⊂B(x,M), A ⊂ B ( x , M ) , c'est-à-dire que, pour tout x∈A, x ∈ A , d(x,a)≤M. d ( x , a ) ≤ M .
Si a = 0, f(x) = b, f est constante et la droite est parallèle à l'axe des abscisses.
Alors f est dérivable en x0 si et seulement si f est dérivable `a droite et `a gauche en x0 et fg(x0) = fd(x0). (2) f est dérivable en a si et seulement si f est dérivable `a droite en a. (3) f est dérivable en b si et seulement si f est dérivable `a gauche en b.
Lorsqu'une fonction n'est pas définie pour une valeur, le nombre dérivé n'existe pas et l'affaire est pliée : il est évident que la fonction inverse n'est pas dérivable en 0 puisqu'elle n'y est pas définie.
Dire que f est discontinue en x0 signifie que f n'est pas continue en x0. La fonction f représentée ci-dessous est continue en x0. La fonction g est discontinue en x0. Autrement dit, on voit graphiquement qu'une fonction est continue en un point x0 si la courbe passe par le point M0(x0 ; ƒ(x0)) sans coupure.
Définition intuitive : Une fonction est continue sur un intervalle, si sa courbe représentative peut se tracer sans lever le crayon. Étudier graphiquement la continuité des fonctions et définies et représentées ci-dessous sur l'intervalle [−2 ; 2].
Un intervalle borné est un intervalle dont les deux bornes (les extrémités) sont finies. Par exemple, ]0;5] et [1;2] sont bornés alors que [3;+∞[ ne l'est pas.
Sur un tel espace, toute fonction continue f à valeurs réelles atteint automatiquement sa borne supérieure M (sinon, la fonction 1/(M – f) serait continue et non bornée) et, de même, sa borne inférieure. Le théorème des bornes peut donc s'énoncer ainsi : tout segment réel est pseudo-compact.
points que σ). Évidemment, I[a,b](f) ⩽ I[a,b](f). f est dite intégrable sur [a, b] si et seulement si I[a,b](f) = I[a,b](f) (pincement).
3) La fonction nulle est croissante mais n'est pas strictement croissante. 1) "une fonction qui est croissante ou décroissante sur I" est la définition de fonction monotone.
La différence entre primitive et intégrale est qu'une primitive est une fonction tandis qu'une intégrale est un réel exprimé comme une aire algébrique (pouvant être négatif).
f est une fonction affine définie sur R par f(x)=mx+p où m et p sont deux réels. Propriété Si m > 0 , alors f est une fonction strictement croissante. Si m \lt 0 , alors f est une fonction strictement décroissante. Remarque Si m = 0 , alors f est constante.
Une valeur qui annule le dénominateur est appelée valeur interdite.
Lorsqu'une valeur est interdite, il faut l'indiquer par une double barre : ║. On étudie séparément chacun le signe de tous les facteurs. On utilise la règle des signes : « + par + fait + », « + par - fait - », « - par + fait - » et « - par -fait +».