Pour calculer P(G), on peut se rappeler que "la probabilité d'une intersection est le produit des probabilités rencontrées sur le chemin". Ainsi, à l'aide de l'arbre, P(G∩I)=P(G)×PG(I).
Ces deux notions sont reliées par la formule A ∪ B = A + B – (A ∩ B) Si l'on soustrait l'intersection, c'est pour ne pas la compter deux fois (une fois avec A et une fois avec B). En termes de probabilités : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B).
Intersection d'ensembles
L'intersection (∩) de deux ensembles A et B s'exprime ainsi : A∩B={x∈Ω∣x∈A et x∈B} A ∩ B = { x ∈ Ω ∣ x ∈ A et x ∈ B } où Ω représente l'ensemble dans lequel se trouvent tous les éléments, c'est-à-dire l'univers des possibles.
Probabilité de A sachant B. pB(A) = p(A ∩ B) p(B) . On en déduit que p(A ∩ B) = p(B) × pB(A).
Dans la théorie des ensembles, l'intersection est une opération ensembliste qui porte le même nom que son résultat, à savoir l'ensemble des éléments appartenant à la fois aux deux opérandes : l'intersection de deux ensembles A et B est l'ensemble, noté A ∩ B, dit « A inter B », qui contient tous les éléments ...
L'union est commutative, c'est-à-dire que, pour des ensembles A et B quelconques, on a : A ∪ B = B ∪ A. L'intersection est distributive sur l'union, c'est-à-dire que, pour des ensembles A, B et C quelconques, on a : A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
La formule pour calculer une probabilité conditionnelle est : P(B∣A)=P(B∩A)P(A) où P(B∩A) représente la probabilité de l'intersection des deux événements.
Deux événements A et B sont indépendants si la réalisation de l'un n'influence pas la réalisation de l'autre. La probabilité que l'autre se produise n'est pas changée. Ceci s'écrit : P(A/B) = P(A) ou, symétriquement P(B/A) = P(B).
Dans le langage courant, on dit que deux événements sont indépendants quand la réalisation de l'un ne dépend pas de celle de l'autre. On va donner une définition mathématique de cette notion. Deux évènements A et B sont dits indépendants si P(A B) = P(A) × P(B).
A ∩ B (l'intersection de A et B) est l'ensemble de nombres qui appartiennent à la fois à A et à B. A U B (l'union de A et B) est l'ensemble de nombres qui appartiennent soit à A soit à B (soit aux deux).
Symbole. Le symbole utilisé est « ∩ », qui se lit « inter » ou « intersection ». Ainsi A ∩ B se lit « A inter B » ou « l'ensemble A intersection l'ensemble B ».
Lorsque le conducteur franchit une intersection : le conducteur doit céder le passage aux véhicules qui arrivent en face de lui s'il souhaite tourner à gauche ; lorsque deux conducteurs arrivent à une intersection par des routes différentes, le conducteur venant de la gauche doit céder le passage à l'autre.
P(A) = 1/4 que B soit réalisé ou non. Attention, on calcule bien la probabilité de A; B est la condition. On peut, à la lumière de cette nouvelle notion, redéfinir la notion d'événements indépendants : Deux événements A et B sont indépendants quand P(A si B)
On dit que ? et ? sont des évènements incompatibles si ? ∩ ? = ∅ . Cela revient à dire que les évènements ne peuvent pas se produire en même temps, car ? ( ? ∩ ? ) = ? ( ∅ ) = 0 . On dit qu'un ensemble d'évènements est incompatible s'ils sont incompatibles deux à deux.
Deux évènements sont incompatibles lorsqu'ils n'ont aucun élément en commun. L'intersection entre des évènements incompatibles est vide (A∩B=∅ A ∩ B = ∅ ). ∙ L'évènement A « obtenir 2, 4 ou 6 » et l'évènement B « obtenir 1 » correspondent à deux évènements incompatibles puisqu'ils n'ont aucun élément commun.
Pour trouver les multiples de 3, il faut additionner tous les chiffres composant le nombre : si le total est égal à 3, 6 ou 9, c'est bien un multiple de 3. Ex. : si l'on additionne le 1 et le 2 du nombre 12, on trouve 3 (1 + 2 = 3) ; donc 12 est un multiple de 3 (3 × 4 = 12).
P(T) = P(M ∩T) + P(M ∩T) (règle 3) = 0,017 + 0,049 = 0,066. La probabilité que le test soit positif est égale à 6,6%. P T( ) = 0,02× 0,85 0,066 ≈ 0,26 .
Et pA(Bbarre) = 1-pA(B) = 1 - p(A inter B)/p(A).
Etant donnés deux évènements A et B de probabilités non nulles alors la formule des probabilités totales permet d'affirmer que : P(B)=P(A∩B)+P(ˉA∩B).
P(AuBuC) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AnB) - P(AnC) - P(BnC) + P(AnBnC) Encore une fois, on retranche les intersections entre les deux ensembles (parties communes) car elles ont été comptées plusieurs fois, puis on ajoute l'intersection entre les trois ensembles P(AnBnC) puisqu'elle a été retranchée une fois de trop.
Les diagrammes de Venn sont montrant les similitudes et les différences entre plusieurs groupes ou concepts. Un diagramme de Venn utilise des cercles se chevauchant pour illustrer les similitudes, les différences et les relations entre des concepts, des idées, des catégories ou des groupes.
Il suffit ici d'utiliser la formule des probabilités totales ou de se rappeler que la probabilité d'un événement est égale à la somme des probabilités des chemins conduisant à cet événement. La probabilité de l'événement B est obtenue en utilisant : P(B)=P(A∩B)+P(A∩B)=P(A)×PA(B)+P(A)×PA(B)=0,6×0,7+0,4×0,2=0,5.
Pour fluidifier le trafic routier, il est conseillé de mettre de côté l'ordre de priorité afin de laisser la possibilité aux différents véhicules de s'engager puis de traverser l'intersection. Cela est d'autant plus logique lorsqu'il est possible de changer de direction pour aller vers la droite ou vers la gauche.