Factoriser un trinôme s'il est le développement d'un carré Pour développer le carré d'une somme ou le carré d'une différence, on utilise les identités : ( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 ( a − b ) 2 = a 2 − 2 a b + b 2
Factoriser une expression, c'est transformer une somme ou une différence en un produit. Il faut donc à la base avoir au moins deux termes que l'on additionne ou soustrait. Par exemple dans 8x + 5, les deux termes sont 8x et 5. Dans 6(x+4)2 – 9, les deux termes sont 6(x+4)2 et 9.
Développer c'est transformer un produit en somme. Factoriser c'est transformer une somme en produit en faisant apparaître son facteur commun. Réduire c'est effectuer dans une expression littérales des calculs possibles.
a² + 2ab + b² = (a + b)² a² - 2ab + b² = (a - b)² a² - b² = (a + b)(a - b)
Pour parvenir à factoriser une expression en un produit de facteurs, il faut d'abord chercher si l'on peut isoler un facteur commun. Par exemple on va chercher le terme commun qui permet de multiplier le premier terme par la deuxième expression : 4x+20 par exemple, est égal à 2 x (2x + 10).
Définition : Factoriser une expression, c'est transformer une somme ou une différence en produit.
Action de la mettre sous la forme de facteurs, un facteur étant un nombre (ou un groupe de nombres) qui multiplie un ou plusieurs autres nombres (ou groupes de nombres). Transformer une somme algébrique en un produit. Exemple : La factorisation doit mettre en évidence au moins 2 expressions multipliées.
Développer une expression consiste à l'écrire sous la forme d'une somme ou d'une soustraction. Cela revient à transformer une multiplication (ou un produit) de plusieurs termes semblables en une opération de sorte que l'on obtienne des formules de type : k x (a + b) = k x a + k x b.
Petite astuce vous pouvez trouver le facteur commun entre 32 et 16 en divisant le plus gros membre par le plus petit -> 32/16 = 2 donc on peut prendre 16 pour facteur commun. Pour "x" il y aura un seul 16 (1x16=16) , et pour "y" il y en aura deux ( 2x16=32).
La factorisation peut se faire suivant différentes techniques : La mise en évidence simple. La mise en évidence double. La différence de carrés.
Le concept de développement désigne l'ensemble des transformations techniques, sociales, territoriales, démographiques et culturelles accompagnant la croissance de la production. Il traduit l'aspect structurel et qualitatif de la croissance et peut être associé à l'idée de progrès économique et social.
La factorisation permet de simplifier des expressions et de résoudre des équations en les transformant en équations-produits. La factorisation par un facteur commun ou les identités remarquables sont les techniques les plus utilisées.
Algèbre Exemples
Réécrivez 4x2 4 x 2 comme (2x)2 ( 2 x ) 2 . Réécrivez 25 comme 52 . Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l'aide de la formule de la différence des carrés, a2−b2=(a+b)(a−b) a 2 - b 2 = ( a + b ) ( a - b ) où a=2x a = 2 x et b=5 .
Pour simplifier l'écriture d'une expression littérale, on peut supprimer le symbole × devant une lettre ou une parenthèse. Remarque : On ne peut pas supprimer le signe × entre deux nombres. Exemple : Simplifie l'expression suivante : A = – 5 × x + 7 × (3 × x – 2) × (– 4).
Pour rappel : Développer c'est transformer un produit en somme. Factoriser c'est transformer une somme en produit en faisant apparaître son facteur commun. Réduire c'est effectuer dans une expression littérale des calculs possibles.
Le développement construit doit être ordonné et aéré. On accepte plus facilement un manque de connaissances que d'organisation. Il faut sauter une ligne entre l'introduction et le développement ainsi qu'entre le développement et la conclusion. Attention à ne pas affirmer une réponse dès l'introduction.
Les identités remarquables sont des développements particuliers d'expressions. On prendra a et b des nombres quelconques. (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2. Exemple : (5x + 1)2 = (5x)2 + 2 × (5x) × 1 + 12 = 25x2 + 10x.
La méthode la plus élémentaire pour factoriser un entier n consiste à prendre tous les entiers inférieurs à n, et à tester s'ils divisent n(=algorithme de force brute). C'est bien sûr un algorithme inutilisable si n est grand.
Pour factoriser une expression de la forme a²+2ab+b², on utilise l'identité remarquable (a+b)². Par exemple, x²+10x+25 peut être écrit sous la forme (x+5)². Cette méthode est basée sur la reconnaissance de l'identité remarquable (a+b)²=a²+2ab+b² (qu'on peut toujours vérifier en développant le produit (a+b)(a+b)).
Vous familiariser avec les formes d'exercices récurrentes, en vous entraînant notamment très tôt avec les sujets et corrigés des annales. Comprendre chaque chapitre de vos cours de maths seconde (ou tout autre niveau bien sûr) au fur et à mesure. Éviter les mauvaises surprises le jour d'un contrôle ou d'un examen.
Factoriser une expression algébrique
Pour cela on peut chercher un facteur commun aux différents termes de la somme et utiliser en sens inverse les règles précédemment notées. ka + kb = k × a + k × b = k × (a + b) ka - kb = k × a - k × b = k × (a - b) On peut aussi reconnaitre une identité remarquable.
La forme factorisée d'une expression littérale est l'écriture sous la forme d'un produit. La forme factorisée est la forme inverse de la forme développée. Elle permet de déterminer le signe de l'expression ainsi que les valeurs pour lesquelles elle s'annule.
Simplifier une fraction, c'est l'écrire avec un numérateur et un dénominateur plus petits. En pratique, cela revient à diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre.