Deux matrices A = ( a i k ) de type ( , ) et B = ( b k j ) de type ( , ) peuvent se multiplier. Le produit de ces deux matrices est une matrice C = ( c i j ) de type ( , ), où l'élément c i j de est obtenu en sommant les produits des éléments de la ième ligne de par les éléments de la jème colonne de .
Une matrice qui a le même nombre de lignes et de colonnes est appelée matrice carrée.
La règle de Sarrus (nommée d'après Pierre-Frédéric Sarrus) est un procédé visuel, qui permet de retenir la formule de calcul des déterminants d'ordre 3. La règle de Sarrus consiste à écrire les trois colonnes de la matrice et à répéter, dans l'ordre, les deux premières lignes en dessous de la matrice.
Une matrice ne comportant qu'une seule ligne et n colonnes est appelée matrice ligne (ou plus souvent vecteur ligne) de taille n. Une matrice comportant m lignes et une seule colonne est appelée matrice colonne (ou plus souvent vecteur colonne) de taille m.
Il est nécessaire, pour pouvoir faire le produit de deux matrices A et B, que le nombre de colonnes de la matrice A soit égal au nombre de lignes de la matrice B. Ainsi, les dimensions des matrices A et B doivent être respectivement (n,m) et (m,p).
Additionnez les trois cofacteurs.
Trois cofacteurs, un pour chaque coefficient d'une seule ligne (ou colonne), que vous additionnez et vous aurez le déterminant de la matrice 3 x 3. Pour notre exemple, cela donne : (-34) + (120) + (-12) = 74.
Exemple théorique
Matrice carrée d'ordre 2 : 2 lignes et 2 colonnes. Matrice carrée d'ordre 3 : 3 lignes et 3 colonnes.
Si A a autant de colonnes que B de lignes et B autant de colonnes que C de lignes, alors les deux produits (AB)C et A(BC) sont bien définis et égaux. On les écrit tous les deux ABC. Et ça se prouve ! C2 = (A+B)(A+B) = A(A+B)+B(A+B) = A2 +AB +BA+B2 C2 = (A+B)(A+B)=(A+B)A+(A+B)B = A2 +BA+AB+B2.
Comment calculer la matrice des cofacteurs ? La comatrice ( matrice des cofacteurs ) d'une matrice carrée M est notée Cof(M) C o f ( M ) . Pour chaque élément de la matrice, calculer le déterminant de la sous-matrice SM associée (ce déterminant est noté Det(SM) Det ( S M ) ou |SM| et est aussi appelé mineur.
Pour que le produit de deux matrices soit défini, il faut que le nombre de colonnes de la première matrice soit égal au nombre de lignes de la deuxième.
Aujourd'hui, les matrices sont souvent utilisées dans des domaines tels que l'administration, la psychologie, la génétique, les statistiques et l'économie. Avant d'étudier les opérations associées aux matrices, débutons par l'identification et la définition des termes associés aux matrices.
Pour diagonaliser une matrice, une méthode de diagonalisation consiste à calculer ses vecteurs propres et ses valeurs propres. La matrice diagonale D est composée des valeurs propres. La matrice inversible P est composée des vecteurs propres dans le même ordre de colonnes que les valeurs propres associées.
Une matrice réelle dont toutes les colonnes sont orthogonales deux à deux est inversible si et seulement si elle n'a aucune colonne nulle. Un produit de deux matrices carrées est inversible si et seulement si les deux matrices en facteur le sont aussi.
La matrice M est diagonalisable si et seulement si la somme des multiplicités géométriques est égale à la taille de M. Or chaque multiplicité géométrique est toujours inférieure ou égale à la multiplicité algébrique correspondante.
La multiplication matricielle est associative : quelles que soient les matrices A, B et C, ( A × B ) × C = A × ( B × C ) (A×B)×C=A×(B×C) (A×B)×C=A×(B×C)
En biologie, la matrice désigne la matière se trouvant entre les cellules des animaux ou des plantes, ou plus généralement la matière (c'est-à-dire le tissu) dans laquelle sont incorporées des structures plus spécialisées — par exemple, des mitochondries dans le cytoplasme d'une cellule.
Une matrice est rectangulaire lorsque les élèments situés au dessus (ou au dessous) de la diagonale sont tous nuls !! Une (n,p)-matrice est dite rectangulaire lorsque n diffère de p. Il me semble que toutes les matrices sont rectangulaires, non ?
Une matrice scalaire est une matrice diagonale (à coefficients dans un anneau) dont tous les coefficients diagonaux sont égaux, c'est-à-dire de la forme λIn où λ est un scalaire et In la matrice identité d'ordre n.
Ce fut James Sylvester qui utilisa pour la première fois le terme « matrice » en 1850, pour désigner un tableau de nombres. En 1855, Arthur Cayley introduisit la matrice comme représentation d'une transformation linéaire.