Si deux ensembles sont en bijection, c'est qu'ils ont même cardinal, c'est à dire pour le groupes, même ordre. La contraposée, si deux groupes n'ont pas même ordre, ils ne sont pas en bijection, donc pas d'isomorphisme.
Pour des ensembles finis, ça veut dire avoir le même nombre d'éléments, et même pour des ensembles infinis, ça donne des choses. Donc deux groupes sont isomorphes si et seulement si ils ont le même ordre. Par exemple le cas du groupe diédral D8 et le groupe quaternion H8.
f est un isomorphisme de groupes si f est une bijection. On prouve alors aussi que f−1 est un morphisme de groupes. f est un automorphisme de groupe si f est un isomorphisme et si G=G′ (même groupe au départ et à l'arrivée). Le noyau de f , noté kerf , est l'ensemble des x de G tels que f(x)=1G′ f ( x ) = 1 G ′ .
Ker f est un sous-groupe de G. f est injective si, et seulement si Ker f = {eG}. f est surjective si, et seulement si Im f = H.
Définition 1.2 On dit que G est abélien (ou commutatif) si on a de plus xy = yx pour tous x, y de G. Dans ce cas on notera souvent + la loi, 0 le neutre, et −x le symétrique de x qu'on appelle alors l'opposé de x. Remarques : Si (G, +) est un groupe abélien, on peut noter x − y pour x + (−y) = (−x) + y.
Nombres : • (N, +) et (N, ·) ne sont pas des groupes car l'opposé et l'inverse d'un nombre naturel ne sont pas des nombres naturels ; • (Z, +), (Q, +), (R, +) et (C, +) sont des groupes abéliens avec élément neutre = zéro 0 ; • si on note Z∗ = Z \ {0} (et même chose pour Q, R et C), l'ensemble (Z∗, ·) n'est pas un ...
Autre exemple avec le groupe (Z,+) : si E1 = {2} alors le sous-groupe engendré par E1 est H1 = 2Z. Si E2 = {8,12} alors H2 = 4Z et plus généralement si E = {a,b} alors H = nZ où n = pgcd(a,b).
En mathématiques, un isomorphisme entre deux ensembles structurés est une application bijective qui préserve la structure, et dont la réciproque préserve aussi la structure.
Lorsqu'on a un morphisme injectif f : G → G , on dit parfois que G se plonge dans G via f. Définition 2.7 Si un morphisme de groupes f : G → G est bijectif, on dit que c'est un isomor- phisme. Si de plus G = G, on dit que f est un automorphisme de G.
En algèbre générale, un morphisme (ou homomorphisme) est une application entre deux structures algébriques de même espèce, c'est-à-dire des ensembles munis de lois de composition interne ou externe (par exemple deux groupes ou deux espaces vectoriels), qui respectent certaines propriétés en passant d'une structure à l' ...
Si f est une application linéaire d'un espace de dimension finie E dans un espace de dimension finie F avec dim(E)=dim(F) pour que f soit un isomorphisme, il suffit que f soit injective OU que f soit surjective.
ISOMORPHE, adj. A. − [En parlant d'un corps chim., d'un minéral] Qui présente une structure cristalline semblable à celle d'un autre corps chimique ou d'un autre minéral.
Le noyau d'un morphisme de groupes f d'un groupe G vers un groupe H se compose de tous les éléments de G qui sont envoyés par f sur l'élément neutre eH de H. Formellement : Le noyau est un sous-groupe distingué de G. L'un des théorèmes d'isomorphisme énonce que le groupe quotient G/ker(f) est isomorphe à l'image de f.
Afin de déterminer si les échantillons proviennent de la même population ou de deux populations différentes, il est plutôt conseillé d'utiliser des tests non paramétriques : le test de Mann-Whitney ou le test de Kolmogorov-Smirnov.
Soit G un groupe. On dit que G est monogène s'il existe a∈G a ∈ G tel que le sous-groupe engendré par a est égal à G . Autrement dit, s'il existe a∈G a ∈ G tel que G={an; n∈Z} G = { a n ; n ∈ Z } . G est dit cyclique s'il est monogène et fini.
1. L'application f est bijective si et seulement si il existe une application g : F → E telle que f ◦ g = idF et g ◦ f = idE. 2. Si f est bijective alors l'application g est unique et elle aussi est bijective.
Une application est bijective si tout élément de son ensemble d'arrivée a un et un seul antécédent, c'est-à-dire est image d'exactement un élément (de son domaine de définition), ou encore si elle est à la fois injective et surjective. Les bijections sont aussi parfois appelées correspondances biunivoques.
f est injective si et seulement si pour tout élément y de F, l'équation f (x) = y a au plus une solution (et éventuellement aucune) dans E. f est surjective si et seulement si pour tout élément y de F, l'équation f (x) = y a au moins une solution dans E. ∀x, y ∈ I x < y =⇒ f (y) < f (x).
On appelle image de u, et on note Im(u), le sous-espace vectoriel de F constitué des images par u des éléments de E : Im(u) = {u(x), x ∈ E}.
Caractérisation des projections : Un endomorphisme p∈L(E) p ∈ L ( E ) est une projection si et seulement si p∘p=p. . L'application p est alors la projection sur Im(p) parallèlement à ker(p) .
Soit f : E → F une application linéaire. On dit que : • f est un endomorphisme si E = F ; f est un isomorphisme si elle est linéaire bijective ; • f est un automorphisme si c'est un endomorphisme bijectif. f est une forme linéaire si F = K.
En plus d'être défini comme une entité à l'intérieur de laquelle des individus se perçoivent comme membre et établissent des relations, un groupe présente des caractéristiques propres. Durables, les trois principales caractéristiques sont : la taille du groupe, le statut et le rôle de ses membres.
Pour qu'un groupe G d'ordre n soit cyclique, il suffit que pour tout diviseur d de n, G possède au plus un sous-groupe cyclique d'ordre d. En particulier, tout groupe d'ordre premier est cyclique. Autrement dit : tout nombre premier est un nombre cyclique.