DEFINITION: Soit E un ensemble non vide, ordonné. E est dit minoré, s'il existe un élément m tel que tout élément x de E soit supérieur ou égal à m. E est dit majoré s'il existe un élément M tel que tout élément x de E soit inférieur ou égal à M.
On remarque que 2, majorant de , appartient à . b. Soit B = { x ∈ R , x = l n ( 1 + n ) , n ∈ N } ; -10, 0 sont des minorants de ; est une partie minorée de mais n'est pas majorée (il existe des éléments de arbitrairement grands). On remarque que 0 est un minorant de qui appartient à .
Montrer que la suite est minorée
Si le minorant m est donné dans l'énoncé, on montre que \left(u_n\right) est minorée par m. Pour cela, on montre que \forall n \in \mathbb{N}, u_n\geqslant m. Si le minorant m n'est pas donné dans l'énoncé, il faut préalablement le déterminer par une conjecture.
1) Initialisation de la récurrence: on trouve une valeur N0 pour laquelle la propriété que l'on cherche à démontrer soit vraie pour n=N0 (ici UN0 < -4). 2) On suppose qu'il existe un certain rang N pour laquelle la propriété est vraie et on montre qu'elle est vraie au rang N+1.
1. Augmenter de tant le prix, la valeur ou le montant de quelque chose : Majorer de 10 % les salaires. 2. Estimer quelque chose au-dessus de sa valeur véritable : Facture majorée de 10 %.
Proposition Si M est un majorant de f et N un majorant de g, alors M + N est un majorant de f + g. Si M est un majorant de f et N un majorant de g, avec f et g positives, alors MN est un majorant de fg. . Si M est un majorant de f , alors −M est un minorant de −f .
De manière directe, si K est donné, on a W(n+1)>K, dès que racine(n)>K , soit n>K^2. On en déduit même que la suite tend vers +00, alors que par l'absurde, vous montrez seulement qu'elle n'est pas bornée.
Sens de variation, convergence et majoration/minoration
Si une suite est croissante et converge vers L L L, alors elle est majorée par L L L. Si une suite est décroissante et converge vers L L L, alors elle est minorée par L L L.
Si une suite (un) est croissante et admet une limite "l" alors elle est majorée et "l" est un majorant. Par ailleurs son premier terme est celui qui la plus petite valeur donc cette suite est aussi minorée et le premier terme est un minorant: Une suite croissante qui converge est une suite bornée.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I . On dit que : f est majorée sur I , s'il existe un réel M tel que pour tout x de I , f ( x ) ≤ M . On dit que M est un majorant de f .
MAJORER une fraction de réels positifs, c'est majorer son numérateur et MINORER son dénominateur. MINORER une fraction de réels positifs, c'est minorer son numérateur et MAJORER son dénominateur. Exemple Soit x ∈ [1, 2].
un maximum est un majorant atteint par la fonction/partie. le maximum n'existe pas toujours (par exemple, la partie ]0,1[ n'a pas de maximum), mais quand il existe il coincide avec la borne supérieur. et donc "la borne sup est atteinte" est équivalent à "le maximum existe".
majoration n.f. Action de majorer ; hausse, relèvement, augmentation.
Fonctions majorées
On dit qu'une fonction numérique (f,D) est 'majorée sur D' sur l'ensemble f(D) est majoré, autrement dit s'il existe un réel M tel que f(x)≤M ∀x∈D. Illustration: Il résulte de cette définition que: Si f est majorée sur D, alors l'ensemble f(D) possède une borne supérieure.
Notation On va noter P∗(N) l'ensemble des parties non vides de N. Toute partie non-vide de N admet un minimum. ∀P : P(N), si P est non vide alors ∃m : N,m ∈ P et ∀p : P,m ≤ p. On montre par récurrence sur n que si P ∩ [0..n] est non vide, alors P admet un élément plus petit que tous les autres.
▶ Si un+1 − un est positive, alors la suite (un) est croissante. ▶ Si un+1 − un est négative, alors la suite (un) est décroissante. b) Si tous les termes de la suite sont strictement positifs, alors il suffit de comparer le rapport un+1 un à 1. ▶ Si un+1 un ⩾ 1, alors la suite (un) est croissante.
1. Diminuer l'importance de quelque chose, lui accorder une valeur moindre : Minorer un incident diplomatique. 2. Porter quelque chose à un chiffre inférieur : Minorer les prix de 10 %.
On dit qu'une suite un converge vers un réel L si pour tout intervalle ouvert U contenant L, tous les termes de la suite appartiennent à U sauf un nombre fini. L est la limite de la suite un et elle est unique. Une suite est divergente si elle n'est pas convergente.
Propriété : Une suite croissante non majorée diverge vers + ∞. Une suite décroissante non minorée diverge vers - ∞. Démonstration : Soit une suite (un) non majorée et croissante, et A un réel arbitraire. Comme la suite est non majorée, il existe au moins un terme up de la suite tel que up > A.
Théorème : Soit I un intervalle de R et f:I→R f : I → R dérivable. Alors : f est croissante sur I si et seulement si, pour tout x∈I x ∈ I , f′(x)≥0 f ′ ( x ) ≥ 0 ; f est strictement croissante sur I si et seulement si f′≥0 f ′ ≥ 0 et si f′ n'est identiquement nulle sur aucun intervalle [a,b]⊂I [ a , b ] ⊂ I avec a<b .
Définition : La suite (un) admet le réel pour limite si : Tout intervalle ]a ; b[ contenant , contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On dit alors que la suite est convergente.
une suite bornée n'est pas nécessairement convergente (contre-exemple : un = (–1)n est bornée — majorée par 1 et minorée par –1 — mais n'admet pas de limite) ; pour qu'une suite tende vers ±∞, il ne suffit pas qu'elle soit non bornée (contre-exemple : la suite qui vaut 0 pour n pair, et n pour n impair).
Si F possède un plus grand élément (en particulier si F est une partie finie d'un ensemble E totalement ordonné comme ℝ), alors cet élément maximum est la borne supérieure de F. Dans ce cas, sup(F) appartient à F. Réciproquement, si sup(F) existe et appartient à F, alors sup(F) est le plus grand élément de F.