Pour définir une application linéaire, on peut se contenter de la définir sur une base. Théorème : Soit (ei)i∈I ( e i ) i ∈ I une base de E et soit (fi)i∈I ( f i ) i ∈ I une famille de vecteurs de F . Alors il existe un unique u∈L(E,F) u ∈ L ( E , F ) tel que u(ei)=fi u ( e i ) = f i pour tout i∈I i ∈ I .
Pour montrer que f est une application linéaire, il suffit de vérifier que f(u + λv) = f(u) + λf(v) pour tous u, v ∈ E,λ ∈ K. Propriétés. Si f:E → F est une application linéaire alors • f(0) = 0, • f(λ1u1 + ··· + λnun) = λ1f(u1) + ··· + λnf(un).
Pour démontrer qu'une application f:E→F f : E → F est surjective, on démontre que, pour tout y∈F y ∈ F , l'équation y=f(x) y = f ( x ) admet toujours au moins une solution x dans E .
Une condition nécessaire et suffisante pour qu'une application linéaire de dans soit un automorphisme est que la matrice associée à dans une base quelconque de soit inversible. De plus, si est un automorphisme de et si A = [ f ] B E , la matrice de dans la base est égale à , inverse de la matrice .
Une fonction linéaire est une fonction qui, à tout nombre x, associe le nombre ax , où a étant un nombre quelconque donné. a est appelé le coefficient de la fonction linéaire. On notera cette fonction de manière équivalente : ou f : x → ax ou f(x) = ax.
Si b = 0, f(x) = ax, f est une fonction linéaire et la représentation graphique est une droite passant par l'origine O. Si a = 0, f(x) = b, f est constante et la droite est parallèle à l'axe des abscisses.
1.1.
Cette équation s'appelle équation linéaire dans les variables (ou inconnues) x et y. Par exemple, 2x + 3y = 6 est une équation linéaire, alors que les équations suivantes ne sont pas des équations linéaires : 2x + y2 = 1 ou y = sin(x) ou x = y. Trois cas se présentent alors : 1.
Formulaire : Si X est le vecteur colonne représentant x∈E x ∈ E dans la base B , si Y est le vecteur colonne représentant u(x) dans la base B′ , et si A est la matrice de u dans les bases B et B′ , alors Y=AX.
Théorème : La composée d'applications linéaires correspond au produit de matrices. Plus précisément, si u∈L(E,F) u ∈ L ( E , F ) et v∈L(F,G) v ∈ L ( F , G ) , alors Mat(B,D)(v∘u)=Mat(C,D)(v)Mat(B,C)(u).
Une application linéaire f ∈ L (E,F) est bijective si et seulement si M(f)ei,fj est inversible.
Pour démontrer qu'une application linéaire u:E→F u : E → F n'est pas continue, on peut chercher une suite (xn) de E avec ∥xn∥=1 ‖ x n ‖ = 1 et ∥u(xn)∥→+∞ ‖ u ( x n ) ‖ → + ∞ (voir cet exercice).
L'application nulle est l'application ƒ de X dans E définie par ƒ(x) = 0 pour tout élément x de X.
1. L'application f est bijective si et seulement si il existe une application g : F → E telle que f ◦ g = idF et g ◦ f = idE. 2. Si f est bijective alors l'application g est unique et elle aussi est bijective.
f est un automorphisme de groupe si f est un isomorphisme et si G=G′ (même groupe au départ et à l'arrivée). Le noyau de f , noté kerf , est l'ensemble des x de G tels que f(x)=1G′ f ( x ) = 1 G ′ . Le noyau kerf est un sous-groupe de G , et on prouve que f est injective si et seulement si kerf={1G} f = { 1 G } .
(1) H est un hyperplan si, et seulement si, c'est le noyau d'une forme linéaire non nulle. (2) Si H = Ker(ϕ) = Ker(ψ), alors il existe λ ∈ R∗ tel que ϕ = λψ.
Pour déterminer ker(f), il s'agit de trouver les solutions de AX = 0 et pour déterminer im(f), il s'agit de trouver les B pour lesquels AX = B a une solution, dans les deux cas échelonnons à l'aide de l'algorithme du pivot de Gauss le système suivant : 1 −1 3 −1 2 1 3 4 −1 2 −4 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a b c .
L'espace nul ou noyau de la matrice A, noté Nul (A) ou Ker A, est l'ensemble des toutes les solutions du système homogène Adx = d0.
Solution : f1(e1)=2e1 - e2,f(e2)=3e1 + e2 et donc MC(f1) = ( 2 3 -1 1 ) . 2. f2 : R2 → R3 définie par f(x, y)=(y,-x + y,2x - y).
Une matrice est un tableau de nombres qui comporte des lignes et des colonnes. Par définition si une matrice a lignes et colonnes, elle est dite de dimension m × n (dans cet ordre). La matrice a lignes et colonnes, donc elle est de dimension 2 × 3 . On dit aussi que c'est une matrice 2 × 3 .
Une famille est une base si et seulement la matrice P formée par les vecteurs colonnes des coordonnées des vecteurs de la famille dans la base de référence est une matrice inversible. Dans ce cas, P est la matrice de passage de la base de référence vers B'. Ici, il s'agit de montrer que P=(231342112) est inversible.
Une matrice de décision est un outil qui permet d'évaluer et de déterminer la meilleure option parmi différents choix possibles. Cet outil est particulièrement utile si plusieurs options s'offrent à vous et que vous êtes tenu de prendre en compte plusieurs facteurs avant de prendre votre décision finale.
Un système d'équation se traduit par le produit matriciel AX = B. Ce système admet une unique solution si A est inversible : X = A-1B.
Propriétés : 1) Une fonction affine est représentée par une droite. 2) Une fonction linéaire est représentée par une droite passant par l'origine. 3) Une fonction constante est représentée par une droite parallèle à l'axe des abscisses. Une fonction affine est représentée par une droite.
Un problème de programmation linéaire est dit sous forme standard si toutes les contraintes sont des contraintes d'égalité et toutes les variables sont positives. Les coefficients des variables d'écart dans la fonction objectif sont nuls.