a) Lorsque le crochet entour le nombre, on dit qu'il est fermé, dans le cas contraire on dit qu'il est ouvert. Par exemple, [2;3[ est fermé en 2 (mais ouvert en 3), cela veut dire qu'il contient 2 mais pas 3 ! ] 2;3] est fermé en 3 (mais ouvert en 2), cela veut dire qu'il contient 3 mais pas 2.
— Un ensemble O est ouvert de (X, d) si et seulement si pour toute suite (xn)n≥1 ⊂ X telle que xn −→ x ∈ O, il existe n0 tel que xn ∈ O pour tout n ≥ n0. — Un ensemble F est fermé de (X, d) si et seulement si pour toute suite conver- gente (xn)n≥1 ⊂ F on a limn→∞ xn ∈ F.
Un intervalle ouvert n'inclut pas ses extrémités et est indiqué entre parenthèses . Par exemple, (0,1) signifie supérieur à 0 et inférieur à 1. Cela signifie (0,1) = {x | 0 < x < 1}. Un intervalle fermé est un intervalle qui comprend tous ses points limites et est indiqué par des crochets.
On appelle intervalle l'ensemble des nombres réels compris entre deux réels positifs ou réels négatifs a et b, ou de la même façon l'ensemble des points de la droite dont la marque est entre a et b. Prenons pour exemple l'intervalle [4 ; 6]. Il désigne l'ensemble des réels x tels que 4 ≤ x et x ≤ 6.
Un intervalle est appelé ouvert s'il n'inclut pas les points de terminaison . Il est noté ( ). Par exemple, (1, 2) signifie supérieur à 1 et inférieur à 2. Un intervalle fermé est un intervalle qui inclut tous les points limites.
Définitions : On dit qu'un intervalle est fermé si ses extrémités appartiennent à l'intervalle. On dit qu'il est ouvert dans le cas contraire. L'intervalle ]6 ; +∞[ est également un intervalle ouvert. Remarque : L'ensemble des nombres réels ℝ est un intervalle qui peut se noter ] − ∞ ; +∞[.
Un intervalle ouvert n'inclut pas ses points de terminaison et est placé entre parenthèses. Un intervalle fermé inclut ses extrémités et est placé entre crochets. Un intervalle est considéré comme délimité si les deux extrémités sont des nombres réels . Un intervalle est illimité si les deux extrémités ne sont pas des nombres réels.
Formellement, on écrira: [a, b[ = {x ∈ E | a ≤ x < b}.
Notation On va noter P∗(N) l'ensemble des parties non vides de N. Toute partie non-vide de N admet un minimum. ∀P : P(N), si P est non vide alors ∃m : N,m ∈ P et ∀p : P,m ≤ p. On montre par récurrence sur n que si P ∩ [0..n] est non vide, alors P admet un élément plus petit que tous les autres.
Identifier un intervalle
Pour trouver l'intervalle entre deux notes, il suffit de compter le nombre de notes les séparant en incluant les deux notes composant l'intervalle. Par exemple, pour aller de do à sol, on trouve les 5 notes suivantes : do ré mi fa sol. L'intervalle séparant do et sol se nomme une quinte.
À propos, chaque intervalle ouvert est un ensemble ouvert . Mais comme vous l'avez vu dans l'exemple que vous avez fourni, une union disjointe d'intervalles ouverts n'est pas en soi un intervalle ouvert (mais c'est un ensemble ouvert). Cependant, chaque ensemble ouvert peut être exprimé comme une union arbitraire d’intervalles ouverts.
Un intervalle est une plage de nombres entre deux points . C'est aussi un continuum de valeurs définies entre deux valeurs. Les deux valeurs sont appelées points finaux de l'intervalle et peuvent ou non être incluses dans l'intervalle.
An interval is said to be bounded, if it is both left- and right-bounded; and is said to be unbounded otherwise. Intervals that are bounded at only one end are said to be half-bounded. The empty set is bounded, and the set of all reals is the only interval that is unbounded at both ends.
Un ensemble F est fermé si et seulement si toute limite (dans E) d'une suite généralisée à valeurs dans F appartient à F. L'espace E est dit séquentiel si cette caractérisation de ses fermés reste vraie en remplaçant « suite généralisée » par « suite ». Tout espace métrique est séquentiel.
En mathématiques et plus particulièrement en topologie générale, un ensemble ouvert, aussi appelé une partie ouverte ou, plus fréquemment, un ouvert, est un sous-ensemble d'un espace topologique qui ne contient aucun point de sa frontière. L'ouvert est l'élément de base d'un espace topologique.
L'intérieur d'un ensemble est la réunion de tous les ouverts inclus dans cet ensemble. L'intérieur de A sera noté oA. Tout point de oA sera dit intérieur à A. l'extérieur de A est par définition l'intérieur de E-A.
Un intervalle est une plage de nombres. Un intervalle fermé, [a, b], est un intervalle qui inclut tous ses points de terminaison, et un intervalle ouvert, (a, b), est un intervalle qui ne contient pas ses points de terminaison .
un ensemble non vide est habité, et peut se formuler : un ensemble qui n'est pas ∅ possède au moins un élément. Affirmer son équivalence à un ensemble habité est non vide nécessite le tiers exclu et n'est donc pas valide en logique intuitionniste.
« Une fonction f est continue sur un intervalle si on peut dessiner son graphe sans lever le crayon d'un bout à l'autre de l'intervalle. »
L'intervalle de tous les nombres entre a et b, y compris a et b, est noté comme [a,b] et si a et b sont exclus, il est noté comme ]a,b[. On peut également remplacer la virgule par un point-virgule dans les pays où les virgules sont utilisées pour écrire des nombres décimaux.
Pour déterminer l'intersection de deux intervalles, on représente ces deux intervalles sur le même axe gradué et on repère les points du premier intervalle plus tous les points du second intervalle.
Amplitude d'une classe (ou d'un intervalle) :
C'est la longueur de l'intervalle. L'amplitude de la classe[ei ei+1 [ est ei+1 - ei .
Un intervalle comprend tous les nombres situés entre deux nombres particuliers . Cette plage comprend tous les nombres réels compris entre ces deux nombres.
R*+ --> R est la définition d'une application qui prend ses valeurs dans l'ensemble des nombres réels positifs non nul(l'étoile) et dont l'ensemble d'arrivée c'est-à-dire le résultat de l'application ou la fonction est un réel (appartient à R). source mes connaissances.
Au fait pour montrer qu'un ensemble n'est pas borné, on peut comme le dit Bisam trouver une suite de points dont la norme tend vers l'infini, ou alors montrer qu'il contient un ensemble non borné. Pour tes deux exemples on trouve facilement des droites qu'ls contiennent, et on sait qu'une droite n'est pas bornée.