Si une fonction est positive, elle est strictement supérieure à zéro et si elle est négative, elle est strictement inférieure à zéro. Certaines fonctions peuvent correspondre à plusieurs de ces possibilités. Elles peuvent être positives, négatives et égales à zéro pour différents intervalles de la fonction.
Pour démontrer qu'une fonction définie sur I∖{a} I ∖ { a } peut se prolonger par continuité en a , on démontre que limx→af(x) lim x → a f ( x ) existe. On prolonge alors f par continuité en posant f(a)=limaf. f ( a ) = lim a f .
a) La fonction f admet une limite en x0 (c'est-`a-dire, f est continue en x0) si et seulement si elle admet f(x0) comme limite `a droite et `a gauche en x0. b) Si f admet des limites distinctes `a droite et `a gauche en x0, alors f n'admet pas de limite en x0.
Autrement dit, on voit graphiquement qu'une fonction est continue en un point x0 si la courbe passe par le point M0(x0 ; ƒ(x0)) sans coupure. Sinon, la fonction est discontinue en ce point. Soit la fonction f définie sur par f(x) = x2+ 3x + 4 si x > 1 ; f(x) = 5 + 3x si x ≤ 1.
Théorème Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a ∈ I. Si f est dérivable en a Alors f est continue en a. f(x) = f(a), et donc que f est donc continue en a.
Lorsque a ∈ Z, on a si x → a+, f(x) → a = f(a) et si x → a−, f(x) = a − 1+(a − (a − 1))2 = a = f(a). Donc f est continue sur R.
Notion de continuité
On dit qu'une fonction f est continue en a si lim(x→a) f(x)= f(a). On dit qu'une fonction f est continue sur un intervalle I si pour tout x_0∈I lim(x→x0)f(x) = f(x0).
Si b = 0, f(x) = ax, f est une fonction linéaire et la représentation graphique est une droite passant par l'origine O. Si a = 0, f(x) = b, f est constante et la droite est parallèle à l'axe des abscisses.
* Si a = b = 0, l'expression devient : f (x) = 0 . On obtient alors la fonction nulle.
On considère une fonction f définie sur Df . On dit que la fonction f est paire si l'ensemble Df est centré en 0 (c'est-à-dire que si x ! Df , alors – x ! Df ) et si pour tout x de Df , f(– x) = f(x).
Si vous parlez en général d'une application f:E→F f : E → F entre deux ensembles, l'existence d'une fonction réciproque, du moins définie sur l'image de f , est équivalente à l'injectivité de f , à savoir la propriété : "pour tous x,y∈E x , y ∈ E , si f(x)=f(y f ( x ) = f ( y ) alors x=y ", intuitivement "les éléments ...
394, 395 les résultats vus en seconde. Définition 1. On dit que deux fonctions f et g sont égales et on écrira f = g si : x Elles ont le même ensemble de définition 3 et : y Pour tout x dans 3, on a f(x) = g(x).
c) Représentation graphique On considère un repère du plan. * Si une fonction est linéaire, alors sa représentation graphique est une droite qui passe par l'origine. * Réciproquement, si la représentation graphique d'une fonction est une droite qui passe par l'origine du repère, alors cette fonction est linéaire.
Pour montrer que f est une application linéaire, il suffit de vérifier que f(u + λv) = f(u) + λf(v) pour tous u, v ∈ E,λ ∈ K.
Une équation linéaire à une inconnue x est une équation de la forme ax + b = 0 où a et b sont des réels (ou des complexes). Les réels a et b sont appelés des coefficients, a est le coefficient devant x et b le coefficient constant. On appelle aussi cette équation, une équation du premier degré à une inconnue.
f est strictement croissante sur I si et seulement si f′≥0 f ′ ≥ 0 et si f′ n'est identiquement nulle sur aucun intervalle [a,b]⊂I [ a , b ] ⊂ I avec a<b .
Lorsqu'on cherche la règle d'une fonction valeur absolue, 3 cas sont possibles. Dans tous les cas, on utilise la forme canonique simplifiée : f(x)=a|x−h|+k. f ( x ) = a | x − h | + k .
La non-linéarité est une propriété utilisée pour décrire une relation qui n'est pas linéaire. Ce terme décrit une fonction qui ne peut être représentée par une ligne droite sur un graphique, mais qui a plutôt une forme courbe ou angulaire.
Une fonction linéaire est définie sur IR, c'est-à-dire que f(𝑥) existe pour n'importe quelle valeur de 𝑥. Une fonction linéaire est de la forme : f(𝑥) = m𝑥, m étant un réel donné, positif, négatif ou même nul. Remarque : Une fonction linéaire est une fonction affine dont l'ordonnée à l'origine vaut 0.
Une fonction linéaire est une fonction affine particulière. En effet, f : x → ax peut s'écrire f : x → ax + 0 . f : x → ax + b est une fonction affine, g : x → ax est la fonction linéaire associée à f.
La fonction f est supérieure à la fonction g (on écrit f⩾g f ⩾ g ) sur l'intervalle I lorsque pour tout réel x de I, f(x)⩾g(x). f ( x ) ⩾ g ( x ) .
f est une fonction affine si et seulement si pour tous réels distincts a et b, le rapport \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} est constant. Logique Cette propriété caractérise les fonctions affines. Notation Le nombre \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} est le taux d'accroissement de f entre a et b.
f est strictement croissante si et seulement si pour tout x ∈ I, f ' (x) ≥ 0 et de plus l'ensemble des points où la dérivée f ' s'annule est d'intérieur vide (c'est-à-dire qu'il ne contient aucun intervalle non trivial).
Si b = 0, f(x) = ax, f est une fonction linéaire et la représentation graphique est une droite passant par l'origine O. Si a = 0, f(x) = b, f est constante et la droite est parallèle à l'axe des abscisses.
Pour que ta fonction soit correctement définie, il faut que le dénominateur ne s'annnule pas et que la fonction racine soit appliquée à un réel positif. On ne peut pas étendre de façon canonique la fonction racine aux négatifs et aux complexes.