Ainsi la fonction monotone définie par f : [ 0 , 1 ] → R , ∀ x ∈ [ 0 , 1 ] f ( x ) = 0 et f ( 1 ) = 1 est intégrable et son intégrale vaut de façon évidente .
Une fonction est monotone lorsqu'elle est croissante sur I ou lorsqu'elle est décroissante sur I . Étudier le sens de variation d'une fonction, c'est découper son ensemble de définition en intervalles sur lesquels la fonction est croissante ou décroissante.
Pour l'intervalle fermé moins 𝑎, 𝑎, si la fonction est impaire, l'intégrale définie de moins 𝑎 à 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à zéro. Et si elle est paire, on trouve qu'elle est égale à deux fois l'intégrale définie de zéro à 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥.
Comment justifier l'existence d'une intégrale ? L'existence d'une intégrale peut être justifiée à l'aide de plusieurs théorèmes mathématiques tels que le théorème de convergence monotone et le théorème de convergence dominée. Ces théorèmes garantissent l'existence de l'intégrale sous certaines conditions.
Théorème (théorème fondamental du calcul intégral) : Si f est une fonction continue et positive sur [a,b] , alors la fonction F définie sur [a,b] par F(x)=∫xaf(t)dt F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t est dérivable sur [a,b] , et a pour dérivée f .
Dans ce cas, on note ∫+∞af(t)dt ∫ a + ∞ f ( t ) d t ou ∫+∞af ∫ a + ∞ f cette limite. Une telle intégrale est alors appelée intégrale généralisée ou intégrale impropre. Soit f:[a,b[→K f : [ a , b [ → K continue par morceaux avec a,b∈R a , b ∈ R .
Critères d'intégrabilité
Une fonction réglée est intégrable sur un intervalle fermé. En particulier on en déduit que les fonctions continues, continues par morceaux, monotones ou encore à variations bornées sont toutes intégrables sur un intervalle fermé.
Définition : Soit une fonction réelle, localement intégrable sur un intervalle , avec ω ∈ R ou . On dit que l'intégrale ∫ a ω f ( t ) d t est absolument convergente si l'intégrale ∫ a ω | f ( t ) | d t est convergente.
Sommaire. Une fonction est paire si et seulement si sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Une fonction est impaire si et seulement si sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine du repère.
On dit qu'une fonction f est monotone ssi elle est soit croissante soit décroissante. La fonction carré x ↦→ x2 n'est pas monotone : en effet, bien qu'elle soit ”tantôt croissante, tantôt décroissante”, elle n'est ni croissante ni décroissante.
1. Qui est toujours sur le même ton, qui offre une grande uniformité de son, de rythme : Chant monotone. 2. Qui lasse par le manque de variété dans les intonations ou les inflexions : Acteur monotone.
Soit une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle. Si a et b désignent les extrémités de l'intervalle (c'est-à-dire a ou b sont des réels ou sont les symboles − ∞ ou + ∞ ) alors les extrémités de l'intervalle sont lim x → a f ( a ) et lim x → b f ( x ) (ces limites pouvant être elles-mêmes infinies).
Théorème de continuité sous l'intégrale: Soient I et J deux intervalles de R et f une fonction définie sur I × J vérifiant: 1. pour tout x ∈ I, la fonction t ↦→ f(x, t) est continue par morceaux sur J ; 2. pour tout t ∈ J, la fonction x ↦→ f(x, t) est continue sur I ; 3.
Une suite est convergente si elle tend vers un nombre fini ; une suite est divergente si elle tend vers l'infini ou si elle n'a pas de limite. Une suite (un) est convergente vers un nombre réel l si, pour tout intervalle I centré en l, il existe un rang p, à partir duquel les termes de cette suite appartiennent à I.
Pour démontrer qu'une suite de fonctions (fn) converge uniformément vers f sur I, on peut : étudier les variations de la fonction fn−f f n − f sur I (en la dérivant par exemple) afin de déterminer supx∈I|fn(x)−f(x)| sup x ∈ I | f n ( x ) − f ( x ) | et de démontrer que cette quantité tend vers 0 (voir cet exercice);
Par exemple, ∫ 0 1 1 x d x = lim a → 0 + ∫ a 1 1 x d x . Si l'aire sous la courbe du domaine illimité est finie, alors l'intégrale impropre correspondante est dite convergente. Si cette aire est infinie, elle est dite divergente.
Pour étudier une intégrale généralisée ∫If ∫ I f , Étape 1 : on étudie la continuité (par morceaux) de f sur I . Il faut vérifier notamment qu'il n'y a pas de problèmes à l'intérieur de ]a,b[ . D'autre part, il est possible que f se prolonge par continuité en a (ou en b ).
Intégrale et primitives
L'intégrale de la fonction nulle est nulle sur tout intervalle inclus dans l'ensemble des réels ; les primitives de la fonction nulle (sur ℝ) sont donc les fonctions constantes.
f est dite intégrable sur [a, b] si et seulement si I[a,b](f) = I[a,b](f) (pincement).
On dit que est intégrable au sens de Riemann ( ou Riemann intégrable sur ) si : s [ a , b ] ( f ) = S [ a , b ] ( f ) . On note alors ce nombre ∫ a b f ( t ) d t intégrale définie de sur l'intervalle .
toute fonction mesurable localement bornée (en particulier toute fonction continue) est localement intégrable. la fonction f définie sur R par f(x)=1/x f ( x ) = 1 / x si x≠0 x ≠ 0 et f(0)=0 f ( 0 ) = 0 n'est pas intégrable en 0. Elle n'est donc pas localement intégrable.
Une fonction f est continue par morceaux sur le segment [a, b] s'il existe une subdivision σ : a = a0 < … < an = b telle que les restrictions de f à chaque intervalle ouvert ]ai, ai + 1[ admettent un prolongement continu à l'intervalle fermé [ai, ai + 1].
La différence entre primitive et intégrale est qu'une primitive est une fonction tandis qu'une intégrale est un réel exprimé comme une aire algébrique (pouvant être négatif).
On retiendra qu'une intégrale peut être positive ou négative mais qu'une aire, elle, est toujours positive.