La relation d'Euler donne la distance d du centre du cercle circonscrit au centre du cercle inscrit, soit d2 = R2 – 2Rr (où r est le rayon du cercle inscrit).
Définition. Le cercle circonscrit d'un triangle est le cercle qui passe par les trois sommets de ce triangle.
Le cercle circonscrit à un triangle est un cercle passant par les trois sommets du triangle. Son centre est le point d'intersection des trois médiatrices du triangle.
On dit aussi que le cercle est circonscrit au carré. Dans la figure suivante, c'est un cercle qui est inscrit dans un carré : cela signifie que chacun des quatre côtés du carré est tangent au cercle. On peut dire aussi que le carré est circonscrit au cercle.
En géométrie, un cercle circonscrit à un polygone est un cercle qui passe par tous les sommets du polygone. Le polygone est alors dit inscrit dans le cercle : on parle de polygone inscriptible ou parfois de polygone cyclique. Les sommets sont alors cocycliques, c'est-à-dire situés sur un même cercle.
Soit l'hypoténuse BC = a ; AC = b et AB = c les côtés de l'angle de l'angle droit ; p = (a + b + c)/2 le demi-périmètre du triangle ABC et r le rayon du cercle inscrit.
Cercle inscrit, cercle circonscrit, cercle d'Euler.
Méthode avec un compas et une règle
Placer la pointe sèche du compas sur une extrémité du segment et tracer un cercle. Répéter l'étape 2 à partir de l'autre extrémité du segment. À l'aide d'une règle, tracer la droite qui relie les deux intersections des cercles. Cette droite est la médiatrice du segment.
Grâce au cercle circonscrit
Si un triangle est inscrit dans un cercle et a pour côté un diamètre de ce cercle alors ce triangle est rectangle.
Le rayon du cercle circonscrit à un triangle rectangle est égal à la moitié de la longueur de l'hypoténuse.
En géométrie, un rayon d'un cercle ou d'une sphère est un segment de droite quelconque reliant son centre à sa circonférence. Par extension, le rayon d'un cercle ou d'une sphère est la longueur de chacun de ces segments. Le rayon est la moitié du diamètre.
Le centre du cercle inscrit dans le triangle médian IJK (I milieu de [BC], etc.), appelé point de Spieker, est le centre de gravité (ou d'inertie) de la ligne polygonale homogène formée par les côtés du triangle.
La formule pour calculer la longueur d'un cercle est : 2r × π.
Un demi-cercle est un arc délimité par deux points, C et D, qui sont les extrémités d'un diamètre du cercle. Le segment CD est un diamètre du cercle et l'arc CD est un demi-cercle.
INTERSECTION : Définition de INTERSECTION.
La formule pour calculer le rayon r du cercle circonscrit à un triangle équilatéral est : r =c3√3. La formule pour calculer le rayon r du cercle inscrit dans un triangle équilatéral est : r =c6√3.
D'après le théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle si : BC² = AB² + AC². Ainsi, d'après le théorème de Pythagore, BC² = AB² + AC². Alors, le triangle ABC est rectangle en A. Son hypoténuse est [BC].
Le point d'intersection des hauteurs s'appelle l'orthocentre.
Le point de rencontre des médiatrices est le centre du cercle circonscrit au triangle. Rappel : Tout point situé sur la médiatrice d'un segment se trouve à égale distance de chacune des extrémités de ce segment. C'est pourquoi les sommets du triangle se trouvent tous sur un même cercle.
Si c désigne la longueur d'un côté d'un triangle et h la hauteur relative à ce côté, l'aire de ce triangle est égale à (c × h) ÷ 2.