Déterminant de deux vecteurs Soient u et v , deux vecteurs de coordonnées respectives (xy) et (x′y′). Le déterminant de u et v est le réel det(u ;v )=xy′−yx′. Propriété : Deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, leur déterminant est nul.
Si les coordonnées ne sont pas proportionnelles, alors les vecteurs ne sont pas colinéaires. Le vecteur nul →0 est colinéaire à tout vecteur. Car quel que soit un vecteur →u, on peut toujours écrire: →0=0⋅→u. 3 points A, B, C sont alignés ⇔ →AB et →AC sont colinéaires.
Le vecteur est un vecteur directeur de la droite d'équation ax + by + c = 0. Soient (d) la droite de vecteur directeur et (d') la droite de vecteur directeur . Les droites (d) et (d') sont parallèles si et seulement si et sont colinéaires, c'est-à-dire si et seulement si le déterminant de et de est nul.
Propriétés : Les points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs ⃗ AB et ⃗ AC sont colinéaires. Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs ⃗ AB et ⃗ CD sont colinéaires.
Deux vecteurs sont égaux si ils ont la même direction, le même sens et la même norme. Cela signifie que si deux vecteurs →AB et →CD sont égaux, alors le quadrilatère ABDC est un parallélogramme (Attention à l'ordre des lettres ! Il s'agit du quadrilatère ABDC et non ABCD.)
Étymologiquement, colinéaire signifie sur une même ligne : en géométrie classique, deux vecteurs sont colinéaires si on peut en trouver deux représentants situés sur une même droite. sont parallèles. Cette équivalence explique l'importance que prend la colinéarité en géométrie affine.
Avec des vecteurs directeurs de chaque droite
Deux droites \left(d\right) et \left(d'\right) sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Soient \left(d\right) et \left(d'\right) les droites d'équations cartésiennes respectives 5x+2y+1=0 et -15x-6y+7=0.
Solution détaillée. Les trois points A 1 , A 2 , A 3 sont alignés si et seulement si les vecteurs A 1 A 2 → et A 1 A 3 → sont colinéaires, donc si et seulement si le déterminant des vecteurs A 1 A 2 → , A 1 A 3 → , est nul.
Pour déterminer si trois points sont alignés, il existe plusieurs méthodes. Les points A, B et C sont alignés ⇔ (AB) et (AC) ont le même cœfficient directeur . A(3 ; 7), B(0 ; –2) et C(1 ; 1) sont-ils alignés ? Les deux cœfficients directeurs sont égaux à 3, donc A, B et C sont alignés.
Produit scalaire et vecteurs colinéaires
Si ⃗ AB et ⃗ CD sont deux vecteurs colinéaires non nuls, alors : 1er cas, vecteurs de même sens : ⃗ ⋅ C D ⃗ = A B × C D \vec {AB}\cdot \vec {CD}=AB\times CD AB ⋅CD =AB×CD.
les vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si il existe un nombre réel k tel que u → = k v → \overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v} u =kv . Soit le vecteur u du plan ayant pour coordonnées u → ( x ; y ) \overrightarrow{u}(x\ ;\ y) u (x ; y) et k un réel.
Adjectif. (Géométrie) De même direction (se dit de vecteurs). Deux vecteurs colinéaires et de même module sont égaux ou opposés. Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
Si les deux vecteurs ⃑ 𝑢 et ⃑ 𝑣 sont perpendiculaires, alors l'angle 𝜃 = 9 0 ∘ . On peut utiliser cette information pour établir que si le produit scalaire de deux vecteurs est égal à 0, alors ces vecteurs sont perpendiculaires.
2) Les vecteurs u, v et w sont non coplanaires ssi ils forment une base de l'espace, c'est à dire ssi au+bv+cw=0 implique a=b=c=O. Donc, on peut écrire le système d'équation à trois inconnues orrespondant à au+bv+cw=0. S'il a une solution non triviale, les vecteurs sont coplanaires, sinon ils ne le sont pas.
« Lorsque deux plans sont parallèles, tout plan coupant l'un coupe l'autre et les droites d'intersection sont parallèles ». « Trois points coplanaires sont toujours alignés ». « Trois points alignés sont toujours coplanaires ». « Quatre points non alignés forment toujours un plan ».
Ces positions relatives sont par ailleurs caractéristiques des droites coplanaires : pour prouver que deux droites sont coplanaires il suffit de prouver qu'elles sont sécantes ou parallèles, et pour prouver que deux droites ne sont pas coplanaires, il suffit de montrer qu'elles ne sont ni sécantes ni parallèles.
Des points sont alignés quand ils appartiennent à une même droite. Dans ce cas, on parle d'un alignement. Les points E, F et G sont alignés car, lorsque l'on trace une droite, on remarque que tous ces points appartiennent à la droite. Un alignement produit toujours le plus court chemin entre deux points.
Points alignés
On dit que trois points ou plus sont alignés s'ils sont sur une même droite. A, B et C sont alignés car A, B et C sont sur la même droite (d).
En géométrie euclidienne, l'alignement peut être caractérisé par un cas d'égalité de l'inégalité triangulaire : trois points sont alignés si l'un d'entre eux (que l'on peut noter B) appartient au segment joignant les deux autres (notés A et C), autrement dit si les distances satisfont la relation AB + BC = AC.
L'espace vectoriel R 3 a pour dimension 3 . La partie { u , v , w } contient exactement trois vecteurs, aussi, pour démontrer que ( u , v , w ) est une base de R 3 , il suffit de démontrer que la partie { u , v , w } est une partie libre. Le triplet ( 0 , 0 , 0 ) est l'unique solution du système ( S ) .
Des points sont alignés s'ils appartiennent à la même droite. Par deux points distincts ne passe qu'une et une seule droite.
Indice : En géométrie vectorielle, pour montrer que 4 points sont coplanaires, il faut montrer que trois des vecteurs qu'ils forment sont coplanaires. Pour ça, il faut exprimer un des trois vecteurs en fonction des deux autres.
Soit A un point du plan, ⃗ u un vecteur non nul et D la droite passant par A de vecteur directeur ⃗ \vec u. u . Un point M appartient à la droite D si et seulement si les vecteurs ⃗ u et A M → {\overrightarrow{AM}} AM sont colinéaires.
Des vecteurs (au moins au nombre de 3) sont dits coplanaires si leurs représentants appartiennent au même plan. appartienent au même plan ce qui implique le point correspondant à leur origine (O) ainsi que les points correspondant à leurs extêmités ( A, B et C) font partie d'un même plan.
Si AM AB = AN AC et si les points A,B et M d'une part et les points A, C et N d'autre part sont alignés dans le même ordre alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles. B ∈[AM] et C ∈ [AN].