Définitions et propriété Définition Une fonction f définie sur \mathbb{R} est dite affine lorsqu'il existe deux réels m et p tels que, pour tout x \in \mathbb{R}, f(x)=m x+p. Les nombres m et p sont respectivement appelés le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine de f.
Une fonction f définie sur est une fonction affine si elle peut s'écrire sous la forme f(x) = ax + b avec a et b réels.
Propriétés : 1) Une fonction affine est représentée par une droite. 2) Une fonction linéaire est représentée par une droite passant par l'origine. 3) Une fonction constante est représentée par une droite parallèle à l'axe des abscisses. Une fonction affine est représentée par une droite.
Proposition 2.1.2. Soit O ∈ E un point fixé, alors f : E → F est affine si et seulement si l'application φ : −→ E → −→ F défini par φ( −−→ OM) = −−−−−−−→ f(O)f(M) est linéaire. linéaire, alors l'application f : E → F définie par : f(M) = O/ + φ( −−→ OM) .
Il est facile de vérifier que si L est linéaire et c est un vecteur constant, alors T(x)=L(x)+c est affine . Nous voyons donc que T est affine ssi il peut être écrit comme une constante plus une fonction linéaire.
Graphiquement, les fonctions affines sont des fonctions dont les graphiques sont des lignes droites, ne passant pas nécessairement par l'origine. En d’autres termes, une fonction affine est un polynôme du premier degré. Ainsi f(x)=3x est à la fois linéaire et affine, alors que g(t)=4t − 6 est affine mais pas linéaire.
Des exemples de transformations affines incluent la translation, la mise à l'échelle, l'homothétie, la similarité, la réflexion, la rotation, la cartographie de cisaillement et leurs compositions dans n'importe quelle combinaison et séquence .
Une fonction affine est une fonction dont le graphique est une droite. Par conséquent, le graphique d'une fonction non affine n'est pas une droite. Un exemple de fonction non affine serait quelque chose comme 𝑦 est égal à 𝑥 au cube ou 𝑦 est égal à 𝑒 à la puissance 𝑥.
Le sens de variation d'une fonction affine dépend du signe du coefficient directeur a a a. Ce coefficient directeur représente la « pente » de la droite représentative de f f f. Si a > 0 a > 0 a>0 la fonction est croissante, la droite « monte ». Si a = 0 a=0 a=0 la fonction est constante, la droite est horizontale.
Une fonction affine est une fonction composée d'une fonction linéaire + une constante et son graphique est une droite . L'équation générale d'une fonction affine en 1D est : y = Ax + c. Une fonction affine démontre une transformation affine qui équivaut à une transformation linéaire suivie d'une translation.
Propriété Dans un plan muni d'un repère (O ; I ; J), la représentation graphique de la fonction affine x → ax + b est la droite d'équation : y = ax + b. a est le coefficient directeur de la droite et b est son ordonnée à l'origine.
Une fonction linéaire est une fonction affine particulière. En effet, f : x → ax peut s'écrire f : x → ax + 0 . f : x → ax + b est une fonction affine, g : x → ax est la fonction linéaire associée à f.
Cours : Fonctions affines. Définition : Une fonction affine est une fonction qui peut s'écrire sous la forme : f:x ↦ ax + b, où a et b sont deux nombres réels quelconques. Remarque : toute fonction linéaire est une fonction affine telle que b = 0.
Si une fonction affine est une fonction constante, c'est-à-dire qu'elle est de la forme 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑏 , la représentation graphique de cette fonction est toujours une droite horizontale passant par le point ( 0 ; 𝑏 ) .
Une fonction affine peut être décrite par : f : R → R → + La droite correspondant à une fonction affinene passe pas par ne passe pas par ne passe pas par l'origine l'origine l'origine. ety sont reliés par la relation y = a +. C'est l'équation de la droite l'équation de la droite l'équation de la droite.
On écrit f : x → ax. Cela signifie : f est la fonction linéaire qui, à tout nombre x, associe le nombre ax, appelé image de x par la fonction f. On écrit aussi : soit f définie par f(x) = ax.
En effet, si on note x la longueur d'un côté d'un carré, l'aire du carré est égale à x2. La fonction est donc f : x x2. Cette fonction n'est pas de la forme x ax avec a nombre fixé indépendant de x. La fonction f n'est donc pas linéaire.
Pour montrer que f est une application linéaire, il suffit de vérifier que f(u + λv) = f(u) + λf(v) pour tous u, v ∈ E,λ ∈ K.
La non-linéarité est une propriété utilisée pour décrire une relation qui n'est pas linéaire. Ce terme décrit une fonction qui ne peut être représentée par une ligne droite sur un graphique, mais qui a plutôt une forme courbe ou angulaire.
Droite passant par 0
Soit un repère orthonormé. Ci-contre, nous avons une droite (d) qui passe par le point 0. Une équation de droite se présente sous la forme : y = ax + b avec a le coefficient directeur et b l'ordonnée à l'origine. Ici b = 0, car la droite coupe l'axe des ordonnées au point 0.
Soient x1 et x2 deux nombres quelconques (x1 x2). L'accroissement des images par une fonction affine, est proportionnel à l'accroissement des nombres associés.
Un ensemble A est dit affine si, pour deux points distincts quelconques, la droite passant par ces points se trouve dans l’ensemble A . Remarque - S est un ensemble affine si et seulement s'il contient toutes les combinaisons affines de ses points. Les ensembles vides et singleton sont à la fois des ensembles affines et convexes.
En géométrie, une transformation affine ou carte affine (du latin, affinis, « connecté à ») entre deux espaces vectoriels consiste en une transformation linéaire suivie d'une translation . Dans un cadre géométrique, ce sont précisément les fonctions qui mappent les lignes droites aux lignes droites.
Le tableau suivant illustre les différentes transformations affines : translation, échelle, cisaillement et rotation .