En mathématiques, on dit que deux entiers a et b sont premiers entre eux, que a est premier avec b ou premier à b ou encore que a et b sont copremiers (ou encore étrangers) si leur plus grand commun diviseur est égal à 1 ; en d'autres termes, s'ils n'ont aucun diviseur autre que 1 et –1 en commun.
Nombres premiers entre eux : qu'est-ce que c'est ? Deux nombres entiers sont dits premiers entre eux lorsqu'il n'admette aucun diviseur commun, sinon l'unité. Par exemple 5 et 12 sont premiers entre eux, mais pas 12 et 15 qui admettent 3 comme diviseur commun.
Nombres premiers entre eux
Donc PGCD (45 ; 28) = 1 On dit que 45 et 28 sont premiers entre eux. Définition : Deux nombres entiers sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1. Leur seul diviseur commun est 1.
Définition : Un nombre entier naturel est premier s'il possède exactement deux diviseurs positifs distincts : 1 et lui-même. Exemples et contre-exemples : - 2, 3, 5, 7 sont des nombres premiers. - 6 n'est pas un nombre premier car divisible par 2 et 3.
Nombres premiers
Un nombre entier naturel (supérieur ou égal à 2) est un nombre premier s'il admet exactement 2 diviseurs : 1 et lui-même. Exemple : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 … sont des nombres premiers.
135 et 120 ne sont pas premiers entre eux car ils ont en plus comme diviseur commun que le 1 au moins le 5. Ils ne sont pas premiers entre eux car tous les deux sont pairs, c'est-à-dire divisible par 2. Ils ne sont pas premiers entre eux car tous les deux sont divisibles par 3.
1. Les nombres 756 et 441 sont-il premiers entre eux ? Justifier. La somme des chiffres de 756 est 15 ; la somme des chiffres de 441 est 9 756 et 441 ne sont pas premiers entre eux car ils sont tous les deux divisibles par 3.
Pour déterminer si un nombre est premier, tu dois donc dresser la liste de tous ses diviseurs. Un diviseur est un nombre par lequel tu peux effectuer une division et obtenir un nombre entier (sans virgule).
2°) Si n un entier naturel non nul, on a PGCD(n ; n+1) = 1. En effet, on peut écrire (n + 1) x 1 - n x 1 = 1, donc d'après le théorème de Bézout, les entiers n et n + 1 sont premiers entre eux.
Comparer deux nombres
Si les deux nombres ont autant de chiffres, on compare les chiffres colonne par colonne, en commençant par la plus grande unité. Si les deux premiers chiffres sont identiques, on passe à la colonne suivante jusqu'à trouver deux chiffres différents.
Les fractions irréductibles
La fraction \dfrac{15}{28} est irréductible car 15 et 28 sont premiers entre eux. Soient a et b deux entiers avec b\neq0.
Tous les nombres premiers sont impairs, avec une exception : le nombre premier 2.
1) Les nombres 378 et 270 sont pairs, ils sont divisibles par 2. Donc ces deux nombres ne sont pas premiers entre eux. Rappel : Deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur seul diviseur commun est 1. Le plus grand commun diviseur des nombres 378 et 270 est 54.
Grâce au crible ou tout autre moyen, listons les nombres premiers plus petits que 200 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197 et 199.
On rappelle la définition d'un nombre premier : il s'agit d'un entier naturel qui possède deux diviseurs distincts : 1 et lui-même. En conséquence le nombre 1 n'est pas premier car il ne possède qu'un seul diviseur.
3) Aucun nombre pair n'est premier. 4) Tous les nombres impairs sont des nombres premiers. 5) La différence entre deux nombres premiers consécutifs (qui se suivent) est toujours 2 6) Aucun multiple de 5 n'est premier.
Voici tout la liste des nombres premiers jusqu'à 100 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Le théorème de Bézout donne une réciproque à cette propriété lorsque d=1 , c'est-à-dire que les entiers sont premiers entre eux. Théorème de Bézout : Deux entiers relatifs a et b sont premiers entre eux si, et seulement si, il existe des entiers relatifs u et v tels que au+bv=1 a u + b v = 1 .
Décomposer un nombre en facteurs premiers, c'est chercher un produit de facteurs premiers qui soit égal à ce nombre. Pour décomposer un nombre en ses facteurs premiers, on commence à le diviser par le plus petit de ses facteurs premiers, on fait la même chose pour le quotient obtenu, puis sur le deuxième quotient, etc.
Tout nombre pair étant multiple de 2, les nombres premiers sont tous impairs, excepté le nombre 2 lui-même. De plus, tout nombre se terminant par 5 étant un multiple de 5, les nombres premiers (sauf 2 et 5) se terminent tous par 1, 3, 7 ou 9.
Cette fonction nous donne bien quelques nombres premiers (16 nombres premiers) mais pas 17 car 289 n'est pas premier. 289 = 172.
Les nombres premiers sûrs sont : 5, 7, 11, 23, 47, 59, 83, 107, 167, 179, 227, 263, 347, 359, 383, 467, 479, 503, 563, 587, etc.
1. Sans calculer leur PGCD, expliquer pourquoi 350 et 644 ne sont pas premiers entre eux. 350 et 644 sont pairs, donc divisible par 2.
Les diviseurs premiers de 588 sont donc : 2 ; 3 et 7. 6. b. Les diviseurs premiers de 27 000 000 sont 2 ; 3 et 5.
496 = 1 x 496 = 2 x 248 = 4 x 124 = 8 x 62 = 16 x 31 1+ 2+ 4+ 8+ 16+ 31+ 62+ 124+ 248 = 496 Donc 496 est un nombre parfait. Définition : deux nombres sont dits amicaux lorsque chacun de ces nombres est égal à la somme des diviseurs de l'autre excepté lui-même. 2. Vérifier que 220 et 284 sont amicaux.