On trouve les coordonnées de chaque vecteur. On regarde si les coordonnées des vecteurs sont proportionnelles. Si les coordonnées sont proportionnelles, alors les vecteurs sont colinéaires. Si les coordonnées ne sont pas proportionnelles, alors les vecteurs ne sont pas colinéaires.
les vecteurs ont la même direction ou bien l'un des deux vecteurs est le vecteur nul 0 ; les vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si il existe un nombre réel k tel que u → = k v → \overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v} u =kv .
est non libre. Étymologiquement, colinéaire signifie sur une même ligne : en géométrie classique, deux vecteurs sont colinéaires si on peut en trouver deux représentants situés sur une même droite. sont parallèles.
Propriétés : Les points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs ⃗ AB et ⃗ AC sont colinéaires. Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs ⃗ AB et ⃗ CD sont colinéaires.
Le vecteur est un vecteur directeur de la droite d'équation ax + by + c = 0. Soient (d) la droite de vecteur directeur et (d') la droite de vecteur directeur . Les droites (d) et (d') sont parallèles si et seulement si et sont colinéaires, c'est-à-dire si et seulement si le déterminant de et de est nul.
Définition : Deux vecteurs et non nuls sont dits colinéaires si et seulement si il existe un nombre réel λ tel que u → = λ v → c'est à dire si est un "multiple" de . Par convention, on dira que le vecteur est colinéaire à tout vecteur.
Remarques : Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement s'ils ont la même direction. Le vecteur est colinéaire à tout vecteur du plan.
x(AB*)=x(B)-x(A) c'est à dire l'abscisse du point B moins l'abscisse du point A. y(AB*)=y(B)-y(A) c'est à dire l'ordonnée du point B moins l'ordonnée du point A. Remarque : Les coordonnées du vecteur AB* représentent le chemin horizontal et vertical qui permet d'aller du point A au point B.
Solution détaillée. Les trois points A 1 , A 2 , A 3 sont alignés si et seulement si les vecteurs A 1 A 2 → et A 1 A 3 → sont colinéaires, donc si et seulement si le déterminant des vecteurs A 1 A 2 → , A 1 A 3 → , est nul.
Pour déterminer si trois points sont alignés, il existe plusieurs méthodes. Les points A, B et C sont alignés ⇔ (AB) et (AC) ont le même cœfficient directeur . A(3 ; 7), B(0 ; –2) et C(1 ; 1) sont-ils alignés ? Les deux cœfficients directeurs sont égaux à 3, donc A, B et C sont alignés.
Propriété : Deux vecteurs colinéaires non nuls ont la même direction. Conséquences géométriques : Dire que les vecteurs et sont colinéaires signifie que les points A, B, C sont alignés. Dire que les vecteurs non nuls et sont colinéaires signifie que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs A B → \overrightarrow{AB} AB et A C → \overrightarrow{AC} AC sont colinéaires. C'est-à-dire : « A, B et C sont alignés si et seulement s'il existe un réel k tel que A C → = k A B → \overrightarrow{AC} = k \overrightarrow{AB} AC =kAB ».
Produit scalaire et vecteurs colinéaires
Si ⃗ AB et ⃗ CD sont deux vecteurs colinéaires non nuls, alors : 1er cas, vecteurs de même sens : ⃗ ⋅ C D ⃗ = A B × C D \vec {AB}\cdot \vec {CD}=AB\times CD AB ⋅CD =AB×CD.
P et P′ sont parallèles si et seulement si →n et →n′ sont colinéaires. P et P′ sont perpendiculaires si et seulement si →n. →n′=0.
Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si, et seulement si, u ⋅v =0.
Indice : En géométrie vectorielle, pour montrer que 4 points sont coplanaires, il faut montrer que trois des vecteurs qu'ils forment sont coplanaires. Pour ça, il faut exprimer un des trois vecteurs en fonction des deux autres.
Points alignés
On dit que trois points ou plus sont alignés s'ils sont sur une même droite. A, B et C sont alignés car A, B et C sont sur la même droite (d).
« Lorsque deux plans sont parallèles, tout plan coupant l'un coupe l'autre et les droites d'intersection sont parallèles ». « Trois points coplanaires sont toujours alignés ». « Trois points alignés sont toujours coplanaires ». « Quatre points non alignés forment toujours un plan ».
L'espace vectoriel R 3 a pour dimension 3 . La partie { u , v , w } contient exactement trois vecteurs, aussi, pour démontrer que ( u , v , w ) est une base de R 3 , il suffit de démontrer que la partie { u , v , w } est une partie libre. Le triplet ( 0 , 0 , 0 ) est l'unique solution du système ( S ) .
Adjectif. (Géométrie) De même direction (se dit de vecteurs). Deux vecteurs colinéaires et de même module sont égaux ou opposés. Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
Fiches méthodes. Si on a une fonction et qu'on cherche les coordonnées d'un point de sa courbe représentative : on choisit une valeur de x et on calcule y = f(x) en remplaçant x dans l'expression f(x) donnée. On obtient ainsi les coordonnées ( x ; y = f(x) ) d'un point de la représentation graphique de la fonction f.
Pour la multiplication/division d'un vecteur par un nombre réel, il suffit de multipler/diviser les coordonnées. Exemples avec les points A(-4;6),B(-1;9),C(1;9) de la figure précédente : 2 AB → ( 2 ( x B - x A ) ; 2 ( y B - y A ) ⇒ 2 AB → ( 6 ; 6 ) -3 AC → ( -3 ( x C - x A ) ; -3 ( y C - y A ) ) ⇒ -3 AC → ( -18 ; 12 )
Soit v1 et v2 deux vecteurs d'un espace vectoriel sur R pour faire simple. Ils sont colinéaires si et seulement si il existe un réel non nul a tel que v2 = a * v1. Les flèches ont la même direction mais pas forcément la même longueur.
Lorsque deux vecteurs ont même direction (ce qui correspond à "parallèles") on dit que les vecteurs sont colinéaires. Ainsi, deux vecteurs et sont colinéaires s'il existe un nombre k tel que c'est à dire qu'un vecteur est un multiple de l'autre. Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
Pour calculer la norme d'un vecteur, il faut utiliser la formule ‖ v → ‖ = v x 2 + v y 2 .