Soient deux droites (MB) et (NC) sécantes en un point A. Si AM AB = AN AC et si les points A,B et M d'une part et les points A, C et N d'autre part sont alignés dans le même ordre alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
Pour cela, il va falloir calculer AE/AD dans un premier temps et calculer ensuite BE/CD. Ainsi AE/AD = BE/CD donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, les deux droites sont parallèles. Si les résultats obtenus après calcul sont différents, cela signifie que les deux droites ne sont pas parallèles.
Si deux droites forment avec une sécante des angles correspondants égaux, alors ces droites sont parallèles. Si deux droites forment avec une sécante des angles alternes-internes égaux, alors ces deux droites sont parallèles.
La réciproque du théorème de Thalès permet uniquement de montrer que deux droites sont parallèles.
On rappelle que deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si \left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{CD}\right) = 0 +k\pi, avec k \in \mathbb{Z}. Les deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si \left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{CD}\right) = 0 +k\pi, avec k \in \mathbb{Z}.
Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles. Si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l'une est alors perpendiculaire à l'autre.
Théorème de Thalès (appliqué au triangle)
M se trouve sur le segment [AB] et N sur le segment [AC]. D'après le théorème de Thalès, si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors on a l'égalité : \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} =\frac{MN}{BC}.
Soient B et M deux points de la droite (d), distincts de A. Soient C et N deux points de la droite (d'), distincts de A. et si les points A, B, M et les points A, C, N sont dans le même ordre, alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
b) Réciproque de Thalès.
Comme le théorème de Thalès est ainsi structuré : « Si des droites sont parallèles, alors des quotients de longueurs de segment sont égaux ». Sa réciproque ne peut être que de la forme : « Si des quotients de longueurs de segment sont égaux, alors des droites sont parallèles. »
La réciproque du théorème de Thalès sert à montrer que deux droites sont parallèles.
En géométrie affine, deux droites sont dites parallèles si elles ont la même direction, c'est-à-dire si elles ont des vecteurs directeurs colinéaires. Toute droite étant parallèle à elle-même, lorsqu'on veut préciser que deux droites parallèles sont distinctes, on dit qu'elles sont strictement parallèles.
Rappel des différentes configurations déjà vues
Définition du théorème de Thalès : si deux droites parallèles découpent deux droites sécantes, formant 2 triangles, emboîtés ou l'un en face de l'autre, alors les longueurs des côtés de deux triangles sont proportionnelles.
On vérifie si des droites sont parallèles en mesurant leur écartement. Si l'écartement est constant alors les droites sont parallèles.
Théorème fondamental de l'algèbre. Théorème d'apprentissage. Théorème d'Archimède. Théorème fondamental de l'arithmétique.
Théorème : Si un triangle est rectangle, alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
1. Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles. 2. Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.
Le théorème de Thalès stipule que si une droite parallèle à un côté d'un triangle coupe les deux autres côtés du triangle, alors la droite divise ces côtés proportionnellement. En appliquant ce théorème au triangle 𝐶 𝐴 𝐸 où 𝐷 𝐹 est parallèle à un côté du triangle, on obtient 𝐶 𝐹 𝐹 𝐸 = 𝐶 𝐷 𝐷 𝐴 .
La réciproque du théorème de Pythagore : Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des autres côtés alors ce triangle est rectangle et l'angle droit est l'angle opposé au plus grand côté.
Propriété:Si deux angles sont symétriques par rapport à une droite,alors ils ont la même mesure. Propriété:Si deux angles sont symétriques par rapport à un point, alors ils ont la même mesure.
Droites parallèles
Si deux droites ne se croisent jamais, on dit que les droites sont parallèles.
On note (d) // (d'). Le signe « // » signifie parallèle. La distance entre deux droites parallèles reste constante.
Droites parallèles Définition : Ce sont deux droites qui ne sont pas sécantes. Soit elles n'ont aucun point commun. Notation : Le symbole « // » signifie « est parallèle ». Exemple : (IJ) // (KL) Soit elles ont une infinité de points communs, on dit qu'elles sont confondues.
Deux droites (d) et (d') sont dites « parallèles » si elles n'ont pas de point d'intersection, même en les prolongeant indéfiniment.
Si deux droites forment deux angles alternes-internes de même mesure, ces deux droites sont parallèles. Les droites \left(AC\right) et \left(DF\right) sont donc parallèles. Les droites \left(AC \right) et \left( DF \right) sont parallèles car les angles \widehat{BEF} et \widehat{EBC} sont de même mesure.
Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles. Si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre. Si deux droites sont parallèles à une même droite alors elles sont parallèles entre elles.