L'ensemble des points M(x,y) tels que ax + by + c = 0 avec (a,b) ≠ (0,0) est une droite vecteur directeur .
Pour montrer qu'une droite (d) est orthogonale à un plan (P), il suffit de montrer qu'un vecteur directeur de (d) est colinéaire à un vecteur normal de (P). Et réciproquement : Si (d) est orthogonale à (P) alors : tout vecteur directeur de (d) est colinéaire à un vecteur normal de (P).
Un vecteur \overrightarrow{n} est normal à un plan si et seulement s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.
Pour vérifier, procédez comme suit : calculez le produit : unit(AXB) X unit(V), où 'X' représente la multiplication vectorielle, 'unit' renvoie un vecteur unitaire dans la direction de son argument vectoriel. Si le produit est égal à 1, alors V est dans le plan .
Pour cela, on pense à utiliser →n un vecteur normal du plan et →u un vecteur directeur de la droite . Si →n⋅→u=0 alors la droite est parallèle au plan. Si →n⋅→u≠0 alors la droite est sécante au plan. Si →n et →u sont colinéaires alors la droite est perpendiculaire au plan.
Propriété Le vecteur (-b\: ; a) est un vecteur directeur de la droite d'équation ax + by + c = 0. Logique Réciproquement, si le vecteur (-b \:; a) est un vecteur directeur de d, alors une équation cartésienne de d est ax + by + c = 0 (avec c à déterminer).
Cette propriété permet de caractériser en tant que droite l'ensemble des points M(x,y) vérifiant une égalité du type ax + by + c = 0 avec (a,b) ≠ (0,0) et, de plus, permet de déterminer un vecteur directeur de cette droite.
Si une droite tracée à un plan est perpendiculaire à toute droite qui passe par son pied et se trouve dans le plan , on dit qu'elle est perpendiculaire au plan.
Les vecteurs peuvent décrire une ligne d'une longueur (« ampleur ») et d'une direction particulières. L'angle x entre deux vecteurs a et b peut être trouvé à l'aide de la formule ab = |a| |b| cosx. Pour que les vecteurs soient perpendiculaires (à angle droit) alors cosx = 0 , nous savons donc que le produit scalaire ou produit scalaire ab doit = 0.
Un vecteur dans un plan est représenté par un segment de droite orienté (une flèche) . Les extrémités du segment sont appelées point initial et point terminal du vecteur. Une flèche allant du point initial au point terminal indique la direction du vecteur. La longueur du segment de ligne représente sa grandeur.
Les vecteurs directeurs permettent d'étudier le parallélisme de deux droites. Théorème : Deux droites sont parallèles si, et seulement si, leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Il existe beaucoup de couples de vecteurs directeurs du plan.
Si sont deux vecteurs non-colinéaires du plan P, le vecteur est normal au plan P si et seulement si est orthogonal aux vecteurs . Dans un repère orthonormal, tout plan P a une équation de forme ax + by + cz + d = 0 avec a, b et c non-nuls et le vecteur est normal à P. P est le plan d'équation est normal à P.
Une équation cartésienne de droite est une équation de la forme ax+by+c=0. Remarque : Il existe une infinité d'équations cartésiennes d'une même droite. Propriété : Si une droite a pour équation cartésienne ax+by+c=0 alors un vecteur directeur de cette droite a pour coordonnées (−b;a).
Il est facile de déterminer un vecteur directeur. Si la droite est écrite sous forme réduite (soit y=ax+b y = a x + b ), le vecteur →u(1;a) u → ( 1 ; a ) fait l'affaire. Si son équation apparaît sous forme cartésienne, on prend →u(−β;α) u → ( − β ; α ) ou →u(β;−α) u → ( β ; − α ) .
D'après un théorème du cours, si ax + by + c = 0 est une équation cartésienne d'une droite (d), alors le vecteur est un vecteur directeur de (d) ; à l'aide du vecteur directeur , placer un second point de la droite à partir du point A ; relier les deux points pour obtenir la droite souhaitée.
Nous obtenons un autre vecteur aligné perpendiculairement au plan contenant les deux vecteurs lorsque nous trouvons le produit vectoriel de deux vecteurs. La norme du vecteur résultant est égale au produit du sin de l’angle entre les vecteurs et la norme des deux vecteurs. une × b =|une| |b| péché θ .
Quand deux droites se coupent en formant un angle droit, elles sont perpendiculaires. - Exact. La droite verte est perpendiculaire à la noire en E. Donc, la noire est aussi perpendiculaire à la verte.
Deux droites tracées dans un repère du plan sont parallèles si et seulement si leurs coefficients directeurs sont égaux. Elles sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs coefficients directeurs est égal à -1. Les discussions ne sont pas disponibles pour le moment.
Si les deux plans sont perpendiculaires, alors leurs vecteurs normaux doivent être perpendiculaires . Il s’ensuit que le produit scalaire des deux vecteurs normaux est nul. Trouvons, à partir des deux équations générales, les composantes des deux vecteurs normaux. Pour le premier, on trouve ( 3 , − 3 , − 3 ) et, pour le second, on trouve ( 𝑎 , − 2 , − 1 ) .
Une droite est dite perpendiculaire à un plan si elle est perpendiculaire à toutes les droites du plan qu'elle coupe . Cette définition dépend de la définition de la perpendiculaire entre les lignes. Deux plans dans l’espace sont dits perpendiculaires si l’angle dièdre auquel ils se rencontrent est un angle droit.
Cela signifie que le vecteur A est orthogonal au plan, ce qui signifie que A est orthogonal à chaque vecteur directeur du plan. Un vecteur non nul orthogonal aux vecteurs directeurs du plan est appelé vecteur normal au plan . Ainsi le vecteur coefficient A est un vecteur normal au plan.
La direction d'un vecteur est déterminée par une demi-droite, appelée support du vecteur dont le sens est celui allant de l'origine de la demi-droite vers l'infini. Si le phénom`ene qu'ils modélisent est bidimensionnel, les vecteurs vivent dans R2, s'il est tridimensionnel, ils vivent dans R3.
La direction d'un vecteur est la mesure de l'angle qu'il fait avec une ligne horizontale . L'une des formules suivantes peut être utilisée pour trouver la direction d'un vecteur : tan θ = yx , où est le changement horizontal et est le changement vertical.
On appelle vecteur normal de la droite (D) tout vecteur (non nul) orthogonal à un vecteur directeur de la droite. Si l'équation cartésienne de (D) est ax+by+c=0, alors un vecteur normal de (D) est le vecteur de coordonnées (a,b).
Explication : Pour trouver le vecteur directionnel, soustrayez les coordonnées du point initial des coordonnées du point terminal .