La réciproque d'une fonction est une fonction qui « inverse » cette fonction. Si 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑦 , alors la réciproque de 𝑓 , que nous désignons par 𝑓 , renvoie la valeur initiale de 𝑥 lorsqu'on l'applique à 𝑦 .
Une fonction admet une réciproque si et seulement si sa courbe représentative a un seul point d'intersection avec une parallèle à l'axe des abscisses.
4. Réciproque d'une fonction. On utilise la réciproque d'une fonction y=f(x) lorsqu'on veut exprimer la variable x en fonction de la variable y, c'est-à-dire : x=f−1(y).
La bijection réciproque est donnée par f−1(y)=y f − 1 ( y ) = y .
Deux fonctions et sont réciproques l'une de l'autre équivaut à : quel que soit , si l'image de par la fonction est , alors l'image de par la fonction est . La notation de la réciproque de est . Par définition, f ( a ) = b ⟺ f − 1 ( b ) = a .
La réciproque d'une fonction f s'obtient en intervertissant les valeurs de x et de y puis en isolant y. y .
La réciproque du théorème de Thalès sert à montrer que deux droites sont parallèles.
D'après le théorème des fonctions réciproques, la fonction est dérivable en tout point image d'un tel que. Mais on a : f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 0 , donc est dérivable en tout point autre que. Donc est dérivable sur. Représentation graphique de et de dans un repère orthonormé.
Sur un segment. Théorème de la bijection entre segments — Si f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a, b] et à valeurs réelles, alors elle constitue une bijection entre [a, b] et l'intervalle fermé dont les bornes sont f(a) et f(b).
1. L'application f est bijective si et seulement si il existe une application g : F → E telle que f ◦ g = idF et g ◦ f = idE. 2. Si f est bijective alors l'application g est unique et elle aussi est bijective.
On dit qu'un polynôme P est réciproque lorsque P = Q. Auquel cas, pour x ≠ 0, P(x) = 0 ⇔ P(1/x) = 0.
Réciproque du théorème de Thalès : Si, d'une part les points A,D,C et d'autre part les points A,E,B sont alignés dans le même ordre et si les deux premiers rapports de Thalès sont égaux ( A D A C = A E A B ) alors les droites (DE) et (BC) sont parallèles.
La réciproque du théorème Pythagore dit que « si un triangle est rectangle, alors le carré de la plus grande longueur (l'hypoténuse) est égale à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés ». La réciproque de Pythagore permet donc de montrer si un triangle est rectangle.
Si ƒ est continue et strictement monotone sur un intervalle [a ; b], alors pour tout nombre k compris entre ƒ(a) et ƒ(b), alors l'équation ƒ(x) = k admet une unique solution dans [a ; b]. Pour localiser cette solution, on pourra utiliser sa calculatrice.
Pour démontrer qu'une application f:E→F f : E → F est surjective, on démontre que, pour tout y∈F y ∈ F , l'équation y=f(x) y = f ( x ) admet toujours au moins une solution x dans E .
Pour montrer que f n'est pas surjective, il suffit de trouver un élément y de F qui n'a aucun antécédent. Soit u : R −→ R+ l'application telle que u(x)=0si x < −1 et u(x) = x + 1 si x ⩾ −1. Les réels −1 et −2 sont distincts et ont la même image : u(−1) = u(−2) = 0. Donc u n'est pas injective.
Alors f est dérivable en x0 si et seulement si f est dérivable `a droite et `a gauche en x0 et fg(x0) = fd(x0). (2) f est dérivable en a si et seulement si f est dérivable `a droite en a. (3) f est dérivable en b si et seulement si f est dérivable `a gauche en b.
f (x0) = f1 (x0) + if2 (x0). On dit qu'une fonction f est dérivable sur un intervalle I lorsque f est dérivable en tout point de I. On note f la fonction dérivée de f qui à tout x ∈I associe f (x). Si g ne s'annule pas sur I, f g est aussi dérivable sur I et ( f g ) = f g − fg g2 .
Il s'agit en fait d'une propriété générale : une fonction n'est pas dérivable aux points où elle n'est pas continue. Pour cet exemple, la solution la plus efficace aurait ainsi été de montrer d'abord que la fonction n'était pas continue et donc pas dérivable.
Le théorème de Thalès affirme que dans un triangle, une droite parallèle à l'un des côtés du triangle définit un deuxième triangle aux angles proportionnels à l'aide des deux autres côtés.
Théorème de Thalès (appliqué au triangle)
D'après le théorème de Thalès, si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors on a l'égalité : \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} =\frac{MN}{BC}.
La propriété « Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales ont le même milieu » est vraie. Sa réciproque « Si les diagonales d'un quadrilatère ont le même milieu, alors c'est un parallélogramme » est aussi vraie.
Une fonction polynôme de degré 2 f est définie sur ℝ par f (x) = ax2 + bx + c, où a, b et c sont des nombres réels donnés et a ≠ 0.
La forme canonique est une forme d'écriture paramétrique de l'équation d'une fonction. On dit que la forme canonique d'une fonction est porteuse de sens puisqu'elle donne de l'information sur l'allure de son graphique. On l'appelle aussi forme transformée.
Une fonction du second degré est sous forme factorisée lorsqu'elle est écrite comme un produit de facteurs, soit 𝑦 = 𝑎 ( 𝑥 − 𝑝 ) ( 𝑥 − 𝑞 ) , 𝑎 ≠ 0 . Par conséquent, les points d'intersection du graphique avec l'axe des 𝑥 sont ( 𝑝 ; 0 ) et ( 𝑞 ; 0 ) .