Egalité de deux fonctions Soient f et g deux fonctions. On dit que les deux fonctions f et g sont égales si : (1) f et g ont le même ensemble de définition D. (2) Pour tout x de D, f(x) = g(x).
394, 395 les résultats vus en seconde. Définition 1. On dit que deux fonctions f et g sont égales et on écrira f = g si : x Elles ont le même ensemble de définition 3 et : y Pour tout x dans 3, on a f(x) = g(x).
Si, pour n'importe quel nombre choisi, deux expressions littérales donnent le même résultat, alors on dit que ces expressions littérales sont égales. Exemples : Pour n'importe quel nombre choisi pour x on a x+7=2x+10−x−3 donc les expressions x+7 et 2x+10−x−3 sont égales. +21 et B=7(x2 +2)+7 sont égales.
On dit que f est équivalente `a g quand t → a lorsqu'il existe un réel ǫ > 0 et une fonction h de [a− ǫ, a+ ǫ]∩D vers R telle que pour t dans cet intervalle, f(t) = h(t)g(t) et que h(t) tende vers 1 quand t → a.
Pour comparer deux fonctions définies par f(x) et g(x): - on calcule f(x) - g(x), en simplifiant autant que possible l'expression. - on réalise le tableau de signes du résultat (revoir les signes des fonctions affines et des trinômes !).
La comparaison des valeurs absolues peut être effectuée en calculant les écarts absolus d'une part et les écarts relatifs d'autre part. L'écart absolu est calculé en faisant la différence entre deux données statistiques.
La fonction linéaire, par exemple f(x)=2x. Elle est toujours de la forme où a est un nombre. La fonction affine, par exemple f(x)=2x+3. Elle est toujours de la forme où a et b sont des nombres.
Pour démontrer que deux propriétés et sont équivalentes, nous démontrons que l'implication dans un sens ( P ⇒ Q ) est vraie, puis que sa réciproque, l'implication dans l'autre sens ( Q ⇒ P ) est également vraie.
Afin de vérifier si deux équations sont équivalentes, on doit vérifier si la solution d'une équation valide la seconde équation. Soit les équations suivantes : 3x=27 3 x = 27 et 5x=45. 5 x = 45. La solution de la première équation est x=9 étant donné que 3×9=27.
Si deux suites (un) et (vn) sont équivalentes, alors l'une converge si et seulement si l'autre converge. Dans ce cas, leurs limites sont égales. Règles de calcul pour les équivalents : Soient (un) , (vn) , (xn) et (yn) quatre suites : si un∼vn u n ∼ v n et xn∼yn x n ∼ y n , alors unxn∼vnyn u n x n ∼ v n y n .
Une équation est une égalité dans laquelle figure un nombre inconnu désigné par une lettre et appelé l'inconnue. Une valeur de ce nombre pour laquelle l'égalité est vraie est une solution de l'équation.
On peut additionner ou soustraire les termes possédants des "x" comme pour les équations. Par exemple, 2x-3x=-x. L'inégalité reste vraie lorsque l'on additionne ou soustraie les deux membres par un même nombre. L'inégalité reste vraie lorsque l'on multiplie ou divise les deux membres par un même nombre positif.
Une égalité est une proposition pouvant s'écrire à l'aide du signe égal « = », séparant deux expressions mathématiques de même nature (nombres, vecteurs, fonctions, ensembles…) ; la négation de cette proposition s'écrit à l'aide du symbole « ≠ ».
Pour tester une égalité, on remplace chaque lettre identique par une même valeur, et on dit si l'égalité est vraie ou fausse pour cette valeur. Dans tout ce cours, on considère l'égalité 3 − 1 = 2 + 5, qui est vraie pour certaines valeurs de , et fausse pour d'autres. On va tester cette égalité pour = 4 et = 6.
Comme f est à valeurs dans J, leurs images respectives f ( a ) et f ( b ) sont deux deux réels de l'intervalle J. Cas où les deux fonctions f et g ont le même sens de variation. f et g sont croissantes : Comme f est strictement croissante sur I, si a < b alors f ( a ) < f ( b ) (on conserve l'ordre !)
Méthode pour tester une égalité
On écrit séparément les deux membres. On remplace chaque lettre par sa valeur numérique. On calcule chaque membre puis on compare leurs résultats. - S'ils sont égaux, l'égalité est vraie - S'ils sont différents, l'égalité est fausse.
Comparer leurs carrés
a) Si deux nombres a et b sont positifs et si a² = b² alors a = b. b) Si deux nombres a et b sont positifs et si a² < b² alors a < b. c) Si deux nombres a et b sont positifs et si a² > b² alors a > b.
Étudier le signe du discriminant Δ.
Si Δ = 0, alors cette équation admet une solution unique . Si Δ > 0, alors cette équation admet deux solutions distinctes : et .
Il faut inverser le signe d'inégalité si on multiplie ou on divise par un nombre négatif.
Le symbole ⇐⇒ est le symbole d'équivalence. Si A et B désignent deux assertions, la notation A ⇐⇒ B se lit ≪ A est équivalent `a B ≫ et signifie que si A est vraie alors B est vraie ET si B est vrai alors A est vrai.
Comme pour les autres applications, si a=b alors f(a)=f(b). Comme a,b∈ A/R, a et b sont des classes d'equivalence. Si on prend un représentant dans A de a (noté x) et un représentant dans A de b (noté y), on n'a pas forcément x=y, mais on sait que R(x,y).
Lorsqu'une implication et sa réciproque sont vraies, les propositions sont équivalentes. Le symbole de l'équivalence est ⇔. ⇔ . On utilise aussi l'expression « si et seulement si ».
Les fonctions les plus courantes sont les fonctions affines, carrées et cubiques. La fonction affine est une fonction dont la représentation graphique est une droite. La fonction carrée est une fonction polynomiale de degré , c'est-à-dire qu'elle peut être représentée par une équation du type y = a x 2 + b x + c .
sinus (sin), cosinus (cos), tangente (tan), cotangente (cot), sécante (sec), cosécante (csc) et leurs réciproques : arc sinus (arcsin), arc cosinus (arccos), arc tangente (arctan), arc cotangente (arccot), arc sécante (arcsec), arc cosécante (arccsc), involute (inv)…
La fonction est une opération mathématique qui permet de mettre en correspondance deux nombres ou deux grandeurs. On associe un nombre unique à un autre nombre qu'on appelle « image ». Autrement dit, imaginez une machine, appelée « f » dans lequel on entre un nombre « x ».