Définitions : Une fonction f est paire lorsque pour tout réel x de son ensemble de définition D, –x appartient à D et f (−x) = f (x). Une fonction f est impaire lorsque pour tout réel x de son ensemble de définition D, –x appartient à D et f (−x) = − f (x).
Remarque Une fonction paire vérifie f(-x)=f(x) pour tout x de son ensemble de définition. Une fonction impaire vérifie f(-x)=-f(x) pour tout x de son ensemble de définition.
Conseil On peut s'aider de la courbe de f pour conjecturer si elle paire, impaire ou ni l'un ni l'autre. Si f(−x)=f(x) alors f est paire. Si f(−x)=−f(x) alors f est impaire.
La courbe de la fonction sinus est symétrique par rapport au centre du repère O. La fonction sinus est impaire, ce qui signifie que pour tout x de : sin(x) = – sin(x).
Un nombre entier exprimé dans le système de numération décimal est pair ou impair si son dernier chiffre est pair ou impair. Suivant cela, si le dernier chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8 alors le nombre est pair ; si le dernier chiffre est 1, 3, 5, 7 ou 9 alors le nombre est impair.
Une fonction est paire si f(x) = f(x) pour toutes les valeurs de x de son domaine. En d'autres termes, fest une fonction paire si f(-x) = f(x), Vx € Dƒ. Une fonction est impaire si f(x) = f(x) pour toutes les valeurs de x de son domaine. En d'autres termes, fest une fonction paire si f(x) = -f(x), Vx € Dƒ.
La mise en évidence de la parité d'une fonction d'une variable réelle (qu'elle soit paire ou impaire) permet notamment de limiter son étude aux réels positifs.
Étudier la parité d'une fonction trigonométrique
Connaître la parité d'une fonction permet de simplifier d'autres calculs. Une fonction est dite paire si pour tout dans son domaine de définition, nous avons f ( x ) = f ( − x ) .
L'expression fonction trigonométrique est un terme général utilisé afin de désigner, entre autres, l'une ou l'autre des fonctions suivantes: sinus, cosinus, tangente, sécante, cosécante, cotangente. On appelle aussi ces fonctions des fonctions circulaires.
Par exemple, le cosinus est le rapport entre le côté adjacent à l'angle par rapport à l'hypoténuse. Le sinus est le rapport entre le côté opposé à l'angle par rapport à l'hypoténuse. Quant à la tangente, elle est le rapport entre la fonction sinus et cosinus.
On peut le démontrer en remplaçant par 𝑥 = 0 dans la définition des fonctions impaires, 𝑔 ( 𝑥 ) = − 𝑔 ( 𝑥 ) . On observe alors que 𝑔 ( 0 ) = − 𝑔 ( 0 ) , ce qui traduit qu'une fonction impaire passe par l'origine, afin de respecter sa symétrie de centre l'origine du repère.
Les fonctions paires
On dit qu'une fonction est paire si sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. La fonction représentée ici est un exemple de fonction paire.
Une fonction 𝑓 de est paire si 𝑓 de moins 𝑥 est égal à 𝑓 de 𝑥. Ce doit être vrai pour toutes les valeurs de 𝑥. Donc 𝑓 de moins un doit être égal à 𝑓 de un, 𝑓 de moins sept doit être égal à 𝑓 de sept, 𝑓 de moins 𝜋 doit être égal à 𝑓 de 𝜋, etc.
Un signal sinusoïdal est un signal continu (onde) dont l'amplitude, observée à un endroit précis, est une fonction sinusoïdale du temps, définie à partir de la fonction sinus.
Sin = Opposé / Hypoténuse (S.O.H.) Cos = Adjacent / Hypoténuse (C.A.H.)
Le cosinus de x, noté cosx, est l'abscisse de M. Le sinus de x, noté sinx, est l'ordonnée de M. Définition : La fonction cosinus, notée cos, est la fonction qui à tout réel x associe le nombre réel cosx. La fonction sinus, notée sin, est la fonction qui à tout réel x associe le nombre réel sinx.
Les graphiques des fonctions cosinus et sinus sont les translatés l'un de l'autre. Cette propriété est mise sous forme algébrique par les formules trigonométriques suivantes : ( π 2 − θ ) = cos et ( π 2 − θ ) = sin .
La trigonométrie est une branche des mathématiques, tout comme l'algèbre, l'analyse ou encore les probabilités. Il s'agit d'un champ des mathématiques qui fait le lien entre la mesure des angles des triangles rectangles et la longueur de leurs côtés. La trigonométrie est donc intimement liée à la géométrie.
Les rapports trigonométriques sont le sinus, le cosinus, la tangente, la cosécante, la sécante et la cotangente.
En mathématiques, étudier la parité d'un nombre entier, c'est déterminer si ce nombre est oui, ou non, un multiple de deux : Un nombre entier est pair lorsqu'il se termine par 0, 2, 4, 6, 8 et s'il est divisible par 2 sans laisser de reste ou être décimal. Par exemple, 2, 248 et 5 674 sont des entiers pairs.
Parité La fonction inverse est impaire. La représentation graphique de la fonction inverse admet l'origine du repère pour centre de symétrie.
La fonction cube est une fonction impaire, ainsi pour tout x réel on a : f ( − x ) = − f ( x ) f(-x)=-f(x) f(−x)=−f(x).
Donc lorsqu'on additionne 1 ou lorsqu'on soustrait 1 à un nombre impair, on a toujours un nombre pair." La mathématicienne prend ensuite un autre exemple : "Si on prend 275, ça équivaut à 274 (nombre pair) + 1.
Sa courbe représentative est une parabole.
La fonction cube est définie sur l'ensemble des réels par f(x)=x3. f ( x ) = x 3 . C'est donc une fonction de puissance entière. Comme cette puissance est impaire, le signe de x et de son image par f sont les mêmes.