Comment calculer la matrice des cofacteurs ? La comatrice ( matrice des cofacteurs ) d'une matrice carrée M est notée Cof(M) C o f ( M ) . Pour chaque élément de la matrice, calculer le déterminant de la sous-matrice SM associée (ce déterminant est noté Det(SM) Det ( S M ) ou |SM| et est aussi appelé mineur.
Déterminant : si n ≥ 2, det(comA) = (detA)n–1. Comatrice de la comatrice : si n ≥ 2, com(comA) = (detA)n–2 A.
Si A est une matrice carrée, alors det(A*) = det A. Si M = M*, alors la matrice est dite hermitienne ou auto-adjointe. Si M = –M*, alors la matrice est dite antihermitienne (en). Si M M* = M* M, alors la matrice est dite normale.
Utiliser la réduction linéaire par rangées pour trouver une matrice inverse. Accolez la matrice identité à votre matrice. Inscrivez sur votre feuille la matrice de départ M sans l'accolade de droite, tirez un trait vertical à droite de celle-ci, inscrivez la matrice identité et fermez l'accolade.
Comment calculer les mineurs d'une matrice ? Pour une matrice carrée d'ordre 2, trouver les mineurs c'est calculer la matrice des cofacteurs sans les coefficients. Pour les matrices de taille supérieure comme 3x3, calculer les déterminants de chaque sous-matrice.
Comment calculer la matrice des cofacteurs ? La comatrice ( matrice des cofacteurs ) d'une matrice carrée M est notée Cof(M) C o f ( M ) . Pour chaque élément de la matrice, calculer le déterminant de la sous-matrice SM associée (ce déterminant est noté Det(SM) Det ( S M ) ou |SM| et est aussi appelé mineur.
Le déterminant se calcule en multipliant les deux termes de la diagonales : a x d, puis les deux autres : b x c. On soustrait alors, ce qui donne det(A) = a x d – b x c.
Une matrice A de Mn(K) M n ( K ) est dite inversible s'il existe B∈Mn(K) B ∈ M n ( K ) tel que AB=BA=In. A B = B A = I n . Une matrice B vérifiant la relation précédente est unique, elle s'appelle matrice inverse de A et se note A−1 .
Pour diagonaliser une matrice, une méthode de diagonalisation consiste à calculer ses vecteurs propres et ses valeurs propres. La matrice diagonale D est composée des valeurs propres. La matrice inversible P est composée des vecteurs propres dans le même ordre de colonnes que les valeurs propres associées.
Une matrice réelle dont toutes les colonnes sont orthogonales deux à deux est inversible si et seulement si elle n'a aucune colonne nulle. Un produit de deux matrices carrées est inversible si et seulement si les deux matrices en facteur le sont aussi.
La matrice M est diagonalisable si et seulement si la somme des multiplicités géométriques est égale à la taille de M. Or chaque multiplicité géométrique est toujours inférieure ou égale à la multiplicité algébrique correspondante.
Pour tout opérateur non borné a de D(a) dans F il existe un unique adjoint, et l'adjoint est linéaire. La majoration suivante montre que y1* + λy2* est bien élément de D(a*). Soit y* un élément de D(a*). Par défaut, a*(y*) est une forme linéaire continue sur D(a).
Il suffit de rentrer chaque matrice de façon "naturelle" élément par élément, séparé d'un espace en effectuant un saut de ligne à chaque fin de ligne de la matrice. Vous pouvez entrer des entiers relatifs et des fractions de la forme -3/4 par exemple.
En algèbre linéaire et multilinéaire, une matrice symétrique est une matrice carrée qui est égale à sa propre transposée, c'est-à-dire telle que ai,j = aj,i pour tous i et j compris entre 1 et n, où les ai,j sont les coefficients de la matrice et n est son ordre.
Autrement dit, si vous remarquez une combinaison linéaire entre les vecteurs colonnes de la matrice A, alors cette famille est liée, donc elle n'est pas libre, donc A n'est pas inversible. Méthode n°3 : Soit A une matrice carrée d'ordre n. Si 0 n'est pas valeur propre de A alors A est inversible.
La règle de Sarrus (nommée d'après Pierre-Frédéric Sarrus) est un procédé visuel, qui permet de retenir la formule de calcul des déterminants d'ordre 3. La règle de Sarrus consiste à écrire les trois colonnes de la matrice et à répéter, dans l'ordre, les deux premières lignes en dessous de la matrice.
Le polynôme caractéristique d'une matrice carrée A est det(A - λI) (c'est un polynôme en λ). ∣ ∣ ∣ ∣ a - λ b c d - λ ∣ ∣ ∣ ∣ = (a -λ)(d -λ)-cd = λ2 -(a +d)λ+ad -bc . Rappel. Les valeurs propre d'une matrice carrée sont les racines de son polynôme caractéristique.
L'inverse d'un nombre s'obtient en mettant ce nombre sur 1, en faisant donc "1 ÷ (nombre)". Vous le voyez, l'inverse d'un entier est une fraction qu'il faut laisser telle quelle. Il n'y a pas à faire de calcul pour obtenir un nombre décimal. Ainsi, l'inverse de 2 est : 1 ÷ 2 = 1/2.
Inverse d'une fraction
Soit a et b deux nombres entiers d'une fraction avec a étant le numérateur et b le dénominateur. L'inverse de la fraction a/b est égal à b/a.
Dans ce cas : A est inversible si et seulement si ses coefficients diagonaux sont tous non nuls, et son inverse est la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont les inverses de ceux de A .
La règle de Sarrus nous fournit un moyen de calculer le déterminant sans avoir à calculer les mineurs ou les cofacteurs. Notons, cependant, que le nombre de calculs que nous devons faire est sensiblement le même, sauf qu'il peut être plus facile de se souvenir de cette méthode.
Pour cela, dans le cas général, il faut d'abord calculer le discriminant Δ (delta), donné par la formule : Δ = b² - 4ac.