➕/➖ La dérivée d'une fonction représente son taux de variation instantanée, et son signe nous renseigne sur la croissance ou la décroissance de la fonction. Si la dérivée est positive sur un intervalle, alors la fonction est croissante sur cet intervalle. Si la dérivée est négative, la fonction est décroissante.
2) Sens de variation et signe de la dérivée
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. f est croissante sur I si et seulement si pour tout x de I, f ′(x) est positive ou nulle. f est décroissante sur I si et seulement si pour tout x de I, f ′(x) est négative ou nulle.
Le sens de variation d'une fonction affine dépend du signe du coefficient directeur a a a. Ce coefficient directeur représente la « pente » de la droite représentative de f f f. Si a > 0 a > 0 a>0 la fonction est croissante, la droite « monte ». Si a = 0 a=0 a=0 la fonction est constante, la droite est horizontale.
MÉTHODE 1. –
Pour déterminer le sens de variation d'une suite (un), on peut utiliser l'une des règles suivantes : a) On étudie le signe de la différence un+1 − un. ▶ Si un+1 − un est positive, alors la suite (un) est croissante. ▶ Si un+1 − un est négative, alors la suite (un) est décroissante.
Donner le sens de variation d'une fonction c'est dire si elle est croissante ou décroissante dans un intervalle donné.
Théorème : Soit I un intervalle de R et f:I→R f : I → R dérivable. Alors : f est croissante sur I si et seulement si, pour tout x∈I x ∈ I , f′(x)≥0 f ′ ( x ) ≥ 0 ; f est strictement croissante sur I si et seulement si f′≥0 f ′ ≥ 0 et si f′ n'est identiquement nulle sur aucun intervalle [a,b]⊂I [ a , b ] ⊂ I avec a<b .
Sens de variation
Propriété : La fonction inverse est décroissante sur ] –∞ ; 0 [ et sur ] 0 ; +∞ [. Démonstration : sur ] 0 ; +∞ [
Si [a,b] est un intervalle du domaine d'une fonction f, on dit que la fonction f est décroissante dans l'intervalle [a,b] si et seulement si pour tout élément x1 et x2 de [a,b], si x1<x2, alors f(x1)≥f(x2).
Si la fonction est croissante (respectivement décroissante) alors la dérivée est positive (respectivement négative).
Une fonction f:I→R f : I → R est donc dérivable en a si et seulement s'il existe α∈R α ∈ R et une fonction ε définie dans un intervalle J ouvert contenant 0 , vérifiant limh→0ε(h)=0 lim h → 0 ε ( h ) = 0 tels que ∀h∈J, f(a+h)=f(a)+αh+hε(h). ∀ h ∈ J , f ( a + h ) = f ( a ) + α h + h ε ( h ) .
Pour factoriser une somme, il faut repérer le facteur commun aux différents termes de la somme. A : le facteur commun est x ; si l'on développe x(x − 5), on retrouve bien x2 − 5x. B : le facteur commun est 2x ; si l'on développe 2x(x − 3 + y), on retrouve bien 2x2− 6x + 2xy.
Étape 1 : Calcul du discriminant Δ = b² - 4ac. Si Δ < 0 : Pas de solution à l'équation ; Si Δ = 0 : Une seule solution S = -b/2a ; Si Δ > 0 : Deux solutions à l'équation S = {(-b-racine(Δ))/2a, (-b+racine(Δ))/2a}.
Sens de variation de la fonction ln
La fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; + [. On en déduit que : Pour tous a et b strictement positifs, a < b ln (a) < ln (b). Pour tous a et b strictement positifs, a = b ln (a) = ln (b).
Pour déterminer le sens de variation d'une suite arithmétique, il faut utiliser sa raison. En effet, si la raison d'une suite arithmétique est positive, alors elle est croissante. Similairement, si la raison est négative, alors la suite est décroissante.
Une fonction peut-elle être ni croissante ni décroissante ? - Quora. Oui, cela s'appelle une fonction non monotone. C'est une fonction qui ne croit ni ne décroit.
Méthode pour étudier le sens de variation d'une suite
Calculer et étudier le signe de u n + 1 − u n pour tout : Si pour tout , u n + 1 − u n ≥ 0 alors la suite est croissante. Si pour tout , u n + 1 − u n ≤ 0 alors la suite est décroissante.
Définitions : • Une suite est croissante si chaque terme est supérieur ou égal à son précédent : un+1 ≥ un ou: Une suite est décroissante si chaque terme est inférieur ou égal à son précédent : un+1 ≤ un ou: Une suite est monotone si elle est croissante ou si elle est décroissante.
Stratégie de la démonstration
La fonction f est strictement décroissante sur un intervalle I lorsque pour tous nombres a et b de I : si a<b, alors f(a)>f(b). Il faut donc comparer f(a) et f(b), pour cela on va étudier le signe de f(b)-(a).
conclusion : la fonction inverse est strictement décroissante sur ]0; +∞[ et aussi strictement décroissante sur ]-∞;0[ mais pas sur l'ensemble des nombres réels non nuls.
Étudier le sens de variation d'une suite, c'est chercher si cette suite est croissante ou décroissante. Calculer un+1−un. Si pour tout entier naturel n, un+1−un⩾0 alors la suite (un) est croissante. Si pour tout entier naturel n, un+1−un⩽0 alors la suite (un) est décroissante.
On démontre qu'une fonction est convexe sur un intervalle si et seulement si sa dérivée est croissante sur cet intervalle, autrement dit si sa dérivée seconde est positive sur cet intervalle.
f est strictement croissante si et seulement si pour tout x ∈ I, f ' (x) ≥ 0 et de plus l'ensemble des points où la dérivée f ' s'annule est d'intérieur vide (c'est-à-dire qu'il ne contient aucun intervalle non trivial).