L'ensemble des nombres entiers naturels est noté ℕ. Un nombre entier relatif est un nombre entier qui est positif ou négatif. L'ensemble des nombres entiers relatifs est noté ℤ. Un nombre décimal peut s'écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule.
L'ensemble ℤ
Un entier relatif est, non seulement, un entier naturel, mais se présente aussi comme un entier naturel muni d'un signe positif ou négatif. Exemples : …. -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, +6, +7, +8, etc.
Il désigne l'ensemble des nombres entiers naturels (exemples : 0 1 2 3 7). Si l'on note ℕ*, cela signifie que l'on exclut le zéro. L'ensemble ℤ vient de l'allemand zahlen qui signifie compter. Ainsi défini par Dedekind, il recouvre l'ensemble des nombres entiers relatifs (exemples : -3 -1 0 1 5).
Le symbole Q désigne l'ensemble des nombres rationnels. Tous les nombres naturels, entiers et décimaux sont des nombres rationnels.
DÉFINITION 1. On désigne par ℂ l'ensemble des nombres complexes et par « i » un élément de ℂ tel que i 2 = −1. Tout nombre complexe z s'écrit de manière unique : z = a + ib avec a ∈ ℝ et b ∈ ℝ.
Le symbole R désigne l'ensemble des nombres réels. Tous les nombres naturels, entiers, décimaux et rationnels sont des nombres réels.
L'ensemble des nombres réels possédant une image par une fonction f est appelé ensemble de définition de la fonction f . De façon formelle, soit f une fonction à valeurs réelles, l'ensemble de définition de f est l'ensemble des réels x pour lesquels l'image f ( x ) existe ou pour lesquels f ( x ) a un sens.
Symbole. L'ensemble ayant pour éléments tous les sous-ensembles ou parties d'un ensemble E est noté de la façon suivante : P(E). Si Card(E) = n, alors : Card(P(E)) = 2n. Une partie d'un ensemble E différente de E et non vide est appelée une partie propre de l'ensemble E.
Les nombres entiers, représentés par Z , regroupent tous les nombres entiers positifs et négatifs. On utilise fréquemment l'appellation nombres entiers relatifs. On peut voir l'ensemble des nombres entiers comme l'ensemble regroupant les nombres entiers naturels (N) et leurs opposés, les nombres entiers négatifs.
Un nombre imaginaire pur est un nombre complexe qui s'écrit sous la forme ia avec a réel, i étant l'unité imaginaire. Par exemple, i et −3i sont des imaginaires purs. Ce sont les nombres complexes dont la partie réelle est nulle. L'ensemble des imaginaires purs est donc égal à iℝ (aussi noté iR).
Les mathématiciens admettent l'existence d'un ensemble noté N dont les éléments sont les entiers naturels. Cette liste infinie 0,1,2,3, .... signifie: m = n ou m < n. Avant de poursuivre, un peu de Vocabulaire et notations 1: - Un ensemble sera dans ce cours une collection d'objets appelés éléments de cet ensemble.
L'autre manière, plus intuitive, de définir plus petit pourrait être : On dit qu'un ensemble A est plus petit qu'un ensemble B si tous les éléments de A sont éléments de B et si B possèdent au moins un élément qui n'est pas dans A.
L'ensemble K, formation à géométrie variable, à la croisée des arts, s'attache à bousculer la forme traditionnelle du concert en confrontant la musique de chambre à d'autres formes d'expression artistique (littérature, arts de la scène, arts plastiques, danse, etc.) dans une démarche à la fois esthétique et historique.
L'ensemble des points M est donc l'ensemble des points situés à une distance k du point A. On en conclut que l'ensemble des points M est le cercle de centre A\left(z_A\right) et de rayon k. Ainsi, l'ensemble des points M est le cercle de centre A d'affixe z_A = 2-i et de rayon 5.
Un nombre entier naturel est un nombre entier qui est positif. L'ensemble des nombres entiers naturels est noté ℕ. Un nombre entier relatif est un nombre entier qui est positif ou négatif.
Exemple 2. Soit la fonction f définie par f(x)=1+x2 f ( x ) = 1 + x 2 et la fonction g définie par g(x)=√x. g ( x ) = x . Ici, le domaine est l'ensemble des nombres réels positifs.
Le développement décimal d'un nombre rationnel peut être fini ou infini et périodique. Les nombres rationnels incluent l'ensemble des nombres entiers et l'ensemble des nombres entiers naturels.
Z est l'ensemble des nombres entiers relatifs, c'est à dire positifs, négatifs ou nuls. Z∗ (Z étoile) est l' ensemble des entiers relatifs sauf 0 (zéro). L'ensemble N est inclus dans l'ensemble Z (car tous les nombres entiers naturels font partie des entiers relatifs). Tout nombre dans N est aussi dans Z.
Les nombres irrationnels sont des nombres réels qui ne sont pas des nombres rationnels. Voici quelques exemples de nombres irrationnels fréquemment utilisés: Le nombre (pi) est irrationnel (Π = 3⋅14159265…), car la valeur décimale ne s'arrête jamais.
Z = ( ... ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ... ) L'ensemble Z est stable pour l'addition, la soustraction et la multiplication. Tout entier naturel est un entier relatif. Z contient donc N : on dit que N est inclus dans Z.