De nombreuses formules impliquant des entiers naturels nécessitent de définir 00 = 1. Par exemple, si l'on voit b0 comme un produit vide, il faut le définir comme étant 1, même lorsque b = 0. En combinatoire, b0 est le nombre de 0-uplets dans un ensemble à b éléments ; il y en a exactement un, même si b = 0.
Or, une somme vide, sans aucun terme, est égale à l'élément neutre pour l'addition, c'est-à-dire 0. Ainsi, un produit de 0 terme, vide, est égal à l'élément neutre pour la multiplication, c'est-à-dire 1. Ainsi, 0^0 = 1.
Pour n'importe quel nombre x, son inverse est donc x' tel que x x x' = 1. Or, zéro n'a pas d'inverse puisque n'importe quel chiffre multiplié par zéro donne toujours zéro. Par conséquent, la division par zéro est impossible et aboutirait à des contresens mathématiques.
En effet, le 0 symbolise le néant, le vide, parfois le chaos et le diable. Le chiffre 0 s'utilise pour caractériser l'état de ce qui est sans valeur, gratuit (0 €, par exemple), infinitésimal (0,000000001 par exemple) ou nul.
C'est la vision qu'Aristote a largement contribué à étendre jusqu'au Moyen Âge. Est 1 ce qui existe et 0 ce qui est absent. Ce sont les Babyloniens qui vont, les premiers, utiliser le zéro, non pas comme un nombre ni même un chiffre, mais comme marqueur signifiant l'absence ».
Les chiffres (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) et le système décimal (selon leur place dans un nombre, ces chiffres sont des unités, des dizaines, des centaines…) ont été inventés par les Indiens. Au 9e siècle, les Arabes trouvent que ces chiffres facilitent beaucoup les calculs et ils les diffusent dans le monde entier.
Le zéro a été inventé aux alentours du Ve siècle en Inde. Le mathématicien et astronome Brahmagupta dessine le vide, le néant, le rien. Il invente un signe pour l'absence et ouvre le chemin de la représentation de ce qui n'était pas représentable jusque-là.
Le symbole de l'infini a été utilisé pour la première fois par le mathématicien John Wallis, en 1655.
En tant que nombre, zéro est un objet mathématique permettant d'exprimer une absence comme une quantité nulle : c'est le nombre d'éléments de l'ensemble vide. Il est le plus petit des entiers positifs ou nuls.
De manière intuitive, on pourrait dire : S'il n'existe aucun nombre entier (noté n) suffisamment grand pour que tous les entiers compris entre 1 et n suffisent à numéroter tous les éléments d'un ensemble, alors cet ensemble est infini.
A noter que l'inverse de 0 n'existe pas car il est impossible de diviser par 0 en mathématiques. En effet, la division par 0 ne représente rien car on ne peut pas diviser une partie par quelque chose qui n'existe pas.
La division par zéro donne l'infini. Cette convention a d'ailleurs été défendue par Louis Couturat dans son livre De l'infini mathématique. Cette convention est assez cohérente avec les règles de la droite réelle achevée, dans laquelle n'importe quel nombre, divisé par l'infini, donne 0.
Zéro à la puissance zéro, noté 00, est une expression mathématique qui n'a pas de valeur évidente. Il n'existe pas de consensus quant à la meilleure approche : définir l'expression (en lui donnant la valeur 1) ou la laisser non définie.
Les indéterminations de la forme 0 × ±∞ se ramènent à une indétermination de la forme 0/0 ou de la forme ∞/∞ en remarquant qu'une multiplication par 0 équivaut à une division par l'infini, ou qu'une multiplication par l'infini équivaut à une division par 0.
"Expression qui appartient au concept "Web 2.0", désignant les technologies qui suivent la forme initiale du web. Le 2.0 favorise l'échange entre les utilisateurs et la création de réseaux sociaux."
Le zéro, tout comme les autres chiffres, n'ont pas été inventés ou découverts par les Arabes, mais par les Indiens. En revanche, ce sont les Arabes, excellents intermédiaires, qui ont diffusé ces chiffres dans toute l'Europe au cours du Xème siècle.
Le premier moment de l'histoire des mathématiques s'identifie néanmoins aux Grecs, qui, à partir du VIe siècle avant J. -C., vont faire de cette discipline plus qu'un outil, un idéal de pensée. C'est généralement à Thalès de Milet que l'on accorde la paternité de la géométrie, et le début des mathématiques grecques.
Al Khwarizmi et l'al jabr :
Selon l'historien Ahmed Djebbar, l'acte de naissance officiel de l'algèbre en tant que discipline vient avec le savant perse Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (790 ; 850). Dans un premier ouvrage, il expose le système décimal et les règles du calcul indien.
Le signe infini se représente comme un 8 couché, il a une signification bien particulière dans chaque culture et religion: En Inde, par exemple, il ferait référence au dieu Shiva de par ses 8 bras, aux 8 règlements de conduites, aux 8 voeux prononcés par les moines bouddhistes.
Le chiffre huit 8 et un des nombres les plus sacrés, il réunit les deux mondes, le physique et le spirituel dans une circulation spiralée. Couché, il devient lemniscate, symbole de l'infini. Présent au cœur de nos cellules, et dans la structure de la molécule d'ADN il représente deux hélices entrelacées.
« L'infini est une notion mathématique qui n'a pas d'équivalent dans le monde physique. Soutenir que notre Univers serait « infini » est absurde car cela ne signifie rien en réalité. Toute théorie physique implique des nombres, en tant que tels forcément répartis sur un intervalle fini.
Par exemple, le 0 maya était représenté par une coquille. Le tout premier zéro proviendrait néanmoins des babyloniens en l'an 3 av. J-C. Le mathématicien perse Al Khawarizmi l'a introduit au VIIIe siècle.
Simplement, pour bien différencier le sens du 6 par rapport au 9, on garde un tracé anguleux pour le 6, et rond pour le 9. Ce sont donc les imprimeurs, entre la fin du XIVe et le XVIe siècle qui figent progressivement la forme des chiffres, en utilisant peu à peu des casses typographiques.
En 1200, le mathématicien italien Fibonacci, qui amena le système décimal en Europe écrivait: «La méthode des Indiens surpasse toute méthode connue pour calculer. C'est une méthode fantastique. Ils font leurs calculs en utilisant neuf chiffres et le symbole zéro.»