La soustraction ne satisfait pas la définition de la commutativité : Une loi de composition interne ⋆ sur un ensemble E est dite commutative si et seulement si, pour tout a∈E et tout b∈E, a⋆b=b⋆a. Puisque 3−2≠2−3 dans Z, la soustraction dans Z n'est pas commutative. Point.
Il y a des opérations qui ne sont pas commutatives. Par exemple, la soustraction n'est pas commutative (4 - 3 = 1 alors que 3 - 4 = -1). La multiplication de 3 par 2 donne le même résultat que la multiplication de 2 par 3.
La commutativité de la multiplication
Dire que la multiplication est commutative, cela veut dire que pour n'importe quels nombres et , on a toujours a × b = b × a . Toutes les opérations ne sont pas commutatives mais la multiplication l'est. Quel que soit l'ordre des facteurs, le produit est le même.
Propriétés de la soustraction. On ne peut pas changer l'ordre des nombres dans une soustraction. On peut calculer la différence a - b en 6eme seulement si a est supérieur ou égal à b. On ne peut pas changer la place des parenthèses quand il y a une ou plusieurs soustractions.
L'addition est commutative : On peut changer l'ordre des termes. Par exemple, 4 + 2 = 2 + 4 .
L'ordre des opérations à prioriser dans un calcul
Mais lorsqu'il y a plusieurs opérations à la suite, il y a alors un ordre précis à respecter : on commence toujours par les calculs entre parenthèses, puis les puissances, les multiplications ou les divisions et enfin pour terminer les additions ou soustractions.
La multiplication est associative signifie que ( a × b ) × c = a × ( b × c ) . Toutes les opérations ne sont pas associatives mais la multiplication l'est. Quelle que soit la manière dont on associe les facteurs, le résultat est le même.
La soustraction est une opération qui consiste à enlever une quantité à une autre, à trouver une quantité manquante ou à comparer des quantités entre elles. Ces quantités qui forment la soustraction se nomment des termes. La différence est le résultat de cette opération.
Opération qui consiste à trouver, s'il existe, le nombre x, appelé différence de b et a, tel que a + x = b. (x existe dans ℕ, seulement si b ≥ a. Dans les autres ensembles de nombres, x existe toujours. On écrit x = b − a.)
Lorsque je fais une soustraction, c'est un peu comme si je prenais une quantité et que je la mettais de côté. Mais si je l'ajoute à nouveau, je retrouve le nombre de départ. Par exemple si je fais 56-21, j'enlève 21, il reste 35. Mais si j'ajoute à nouveau les 21 aux 35 restants, je retrouve 56.
1. Propriété d'une opération mathématique commutative. 2. Fait pour des éléments linguistiques de pouvoir entrer dans des cadres de phrase identiques.
Les propriétés qui permettent de résoudre une équation sont les propriétés de la relation d'égalité, la réflexivité, la symétrie et la transitivité, et les propriétés opératoires.
Propriété d'une opération dans laquelle les termes peuvent être groupés de différentes façons, sans que le résultat de l'opération ne soit modifié. Propriété d'une opération qui permet d'en regrouper les termes sans en changer le résultat.
La somme est le résultat d'une addition. Le quotient est le résultat d'une division. La différence est le résultat d'une soustraction.
abattement, décompte, déduction, défalcation, réduction, remise. Contraire : addition, adjonction, ajout.
Vocabulaire. Définition : Le résultat d'une soustraction s'appelle une différence et les nombres que l'on soustrait entre eux sont les termes de la différence. La différence entre deux nombres est le nombre qu'il faut ajouter à l'un pour trouver l'autre.
1489 : Le mathématicien allemand Johann Widmann d'Eger introduit les signes + et - pour exprimer l'addition et la soustraction. Auparavant, on utilisait les lettres p (piu) et m (minus).
La notion de soustraction est vue dès le CP (avec l'idée de compléments et d'addition à trous). La technique opératoire est vue en CE2. Les manuels de CE1 préconisent souvent l'utilisation de la droite numérique avec l'idée d'avancer et de reculer.
Définition : Le résultat d'une multiplication s'appelle un produit et les nombres que l'on multiplie entre eux s'appellent les facteurs.
Les élèves de CE1 et CE2 pourront découvrir la méthode française traditionnelle (ou méthode par compensation) qui consiste à ajouter un même nombre. La méthode anglo-saxonne (par emprunt, par cassage) consiste à emprunter une dizaine. Généralement, je laisse les élèves choisir la méthode qu'ils préfèrent.
La soustraction sans retenue
Pour effectuer une soustraction posée sans retenue, il faut bien aligner les chiffres de l'opération. On commence toujours par aligner du côté droit : D'abord, on soustrait les unités des unités. Puis on soustrait les dizaines des dizaines.
Le résultat d'une addition est appelé une somme, et les nombres que l'on additionne, les termes.
L'addition et la multiplication de nombres réels sont des opérations associatives.
Pourquoi. Dans un calcul sans parenthèses on effectue les multiplication avant l'addition ? C'est une convention, pas une propriété mathématique. Cela permet d'alléger l'écriture de certaines expressions, puisqu'on peut éviter d'écrire des parenthèses.
Règles de priorité
Pour calculer une expression numérique sans parenthèses, on effectue les calculs de la gauche vers la droite, en commençant par les multiplications et les divisions qui ont priorité sur les additions et les soustractions.