En tant que chiffre, il est utilisé pour « garder le rang » et marquer une position vide dans l'écriture des nombres en notation positionnelle. En tant que nombre, zéro est un objet mathématique permettant d'exprimer une absence comme une quantité nulle : c'est le nombre d'éléments de l'ensemble vide.
En effet, le 0 symbolise le néant, le vide, parfois le chaos et le diable. Le chiffre 0 s'utilise pour caractériser l'état de ce qui est sans valeur, gratuit (0 €, par exemple), infinitésimal (0,000000001 par exemple) ou nul.
Il y a donc peu de chance pour que le zéro grec soit l'ancêtre de notre zéro. La première trace du zéro nous parvient des babyloniens (3e siècle avant J.C.). Leur système de numération tenant sur la combinaison du principe de position et du principe additif est parfois ambigu.
De l'italien zero , altération de zefiro , issu du latin médiéval zephirum , lui-même de l'arabe صفر , ṣifr (« vide »), lui-même calque du sanskrit शून्य , śūnya.
En 1200, le mathématicien italien Fibonacci, qui amena le système décimal en Europe écrivait: «La méthode des Indiens surpasse toute méthode connue pour calculer. C'est une méthode fantastique. Ils font leurs calculs en utilisant neuf chiffres et le symbole zéro.»
Zéro en tant que chiffre
La première apparition du zéro en Mésopotamie semble remonter au III e siècle av. J. -C. , à l'époque des Séleucides. Il n'était cependant pas utilisé dans les calculs et ne servait que comme chiffre (marquage d'une position vide dans le système de numération babylonienne).
Pour n'importe quel nombre x, son inverse est donc x' tel que x x x' = 1. Or, zéro n'a pas d'inverse puisque n'importe quel chiffre multiplié par zéro donne toujours zéro. Par conséquent, la division par zéro est impossible et aboutirait à des contresens mathématiques.
En arithmétique ordinaire, le nombre 0 n'a pas de signe, de sorte que −0, +0 et 0 sont identiques.
Les chiffres (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) et le système décimal (selon leur place dans un nombre, ces chiffres sont des unités, des dizaines, des centaines…) ont été inventés par les Indiens. Au 9e siècle, les Arabes trouvent que ces chiffres facilitent beaucoup les calculs et ils les diffusent dans le monde entier.
Le symbole de l'infini a été utilisé pour la première fois par le mathématicien John Wallis, en 1655.
Par exemple, le 0 maya était représenté par une coquille. Le tout premier zéro proviendrait néanmoins des babyloniens en l'an 3 av. J-C. Le mathématicien perse Al Khawarizmi l'a introduit au VIIIe siècle.
Le premier moment de l'histoire des mathématiques s'identifie néanmoins aux Grecs, qui, à partir du VIe siècle avant J. -C., vont faire de cette discipline plus qu'un outil, un idéal de pensée. C'est généralement à Thalès de Milet que l'on accorde la paternité de la géométrie, et le début des mathématiques grecques.
Le zéro a été inventé vers le V e siècle en Inde. L'astronome et mathématicien Brahmagupta dessine le vide, le néant, le rien et il invente alors un signe pour l'absence, donc ouvrant le chemin de la représentation à ce qui n'était pas représentable et quantifié jusque-là.
0! = 1. puisque par convention, le produit vide est égal à l'élément neutre de la multiplication. Cette convention est pratique ici car elle permet à des formules de dénombrement obtenues en analyse combinatoire d'être encore valides pour des tailles nulles.
Lorsque l'on met x à la puissance 0, on effectue donc un produit vide. Or, une somme vide, sans aucun terme, est égale à l'élément neutre pour l'addition, c'est-à-dire 0. Ainsi, un produit de 0 terme, vide, est égal à l'élément neutre pour la multiplication, c'est-à-dire 1. Ainsi, 0^0 = 1.
Zéro est un symbole utile pour écrire les nombres mais est-il lui-même un nombre ? Si nous restons sur l'idée des nombres naturels, la réponse est « non ».
Le plus petit nombre entier n'existe pas. En effet, les nombres entiers sont les nombres entiers relatifs, qui incluent les nombres entiers négatifs, jusqu'à la limite de l'infini négatif. En revanche, le plus petit des nombres entiers naturels est 0, et le plus petit nombre entier naturel non nul est 1.
Il faut savoir que des mathématiciens sont allés encore plus loin. Ils ont nommé un nombre encore plus grand : le "Googolplex", c'est un 1 suivi d'un googol de zéros, un nombre si immense qu'il y a davantage de zéros dans l'écriture de ce nombre que d'atomes dans l'univers.
Le zéro a été inventé aux alentours du Ve siècle en Inde. Le mathématicien et astronome Brahmagupta dessine le vide, le néant, le rien. Il invente un signe pour l'absence et ouvre le chemin de la représentation de ce qui n'était pas représentable jusque-là.
Le Poisson est considéré comme le signe le plus gentil du zodiaque. Il agit véritablement comme un signe d'eau en étant très doux et sensible.
En dehors des textes mathématiques, lorsqu'on parle de nombres positifs ou négatifs, le nombre zéro est généralement exclu. Ainsi le dictionnaire Lexis précise : « Les nombres négatifs, les nombres positifs et le zéro forment l'ensemble des nombres relatifs ».
A noter que l'inverse de 0 n'existe pas car il est impossible de diviser par 0 en mathématiques. En effet, la division par 0 ne représente rien car on ne peut pas diviser une partie par quelque chose qui n'existe pas.
La division par zéro donne l'infini. Cette convention a d'ailleurs été défendue par Louis Couturat dans son livre De l'infini mathématique. Cette convention est assez cohérente avec les règles de la droite réelle achevée, dans laquelle n'importe quel nombre, divisé par l'infini, donne 0.
En pratique c'est vrai, tout corps est un groupe pour la multiplication si on le considère comme un ensemble dont zéro est exclu. En particulier, si a=0, alors tous les entiers relatifs k sont tels que 0=k⋅0, donc 0 divise 0.