Pour conceptualiser l'intégrale, il faut imaginer que tu resserres de plus en plus l'espace vide qui subsiste entre ces points (en en rajoutant plein), jusqu'à ce que tu passes d'un point à un autre sans voir la différence. L'intégrale est en fait une somme qui se calcule généralement sur un ensemble infini.
Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé intégration. Une intégrale est donc composée d'un intégrande (la fonction à intégrer) et d'un opérateur que l'on appelle intégrateur (le ∫ ).
Comment justifier l'existence d'une intégrale ? L'existence d'une intégrale peut être justifiée à l'aide de plusieurs théorèmes mathématiques tels que le théorème de convergence monotone et le théorème de convergence dominée. Ces théorèmes garantissent l'existence de l'intégrale sous certaines conditions.
L'intégrale est utilisée pour calculer l'aire située sous une fonction. Cette technique est très utilisée en architecture mais aussi en probabilités continues ou même pour la construction des autoroutes.
Si la courbe passe au-dessus et en-dessous de l'axe des 𝑥 dans l'intervalle [ 𝑎 ; 𝑏 ] , alors son intégrale définie est la différence entre l'aire au-dessus de l'axe des 𝑥 et l'aire sous l'axe des 𝑥 , dans l'intervalle [ 𝑎 ; 𝑏 ] .
La différence entre primitive et intégrale est qu'une primitive est une fonction tandis qu'une intégrale est un réel exprimé comme une aire algébrique (pouvant être négatif).
Théorème : L'intégrale sur un segment d'une fonction continue de signe constant est nulle si et seulement si cette fonction est nulle.
Le concept d'intégrale a été raffiné depuis son introduction au XVII e siècle par Leibniz et Newton, permettant ainsi de les calculer pour des fonctions de moins en moins régulières. On rencontre ainsi aujourd'hui les intégrales dites de Riemann, de Lebesgue ou de Kurzweil-Henstock.
L'intégrale de la fonction f sur [ a ; b ] notée est en unités d'aire, la différence entre : les aires situées au dessus de (Ox) et les aires situées en dessous de (Ox).
Dans ce cas, on note ∫+∞af(t)dt ∫ a + ∞ f ( t ) d t ou ∫+∞af ∫ a + ∞ f cette limite. Une telle intégrale est alors appelée intégrale généralisée ou intégrale impropre. Soit f:[a,b[→K f : [ a , b [ → K continue par morceaux avec a,b∈R a , b ∈ R .
Théorème (théorème fondamental du calcul intégral) : Si f est une fonction continue et positive sur [a,b] , alors la fonction F définie sur [a,b] par F(x)=∫xaf(t)dt F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t est dérivable sur [a,b] , et a pour dérivée f .
Autrement dit, si une fonction est intégrable sur I=]a,b[ I = ] a , b [ , alors son intégrale sur I est convergente.
Qu'appelle-t-on une intégrale impropre ? Si sur un certain intervalle le domaine sous la courbe de la fonction est illimité, alors l'intégrale de sur cet intervalle est dite impropre. C'est le cas si au moins l'une des bornes d'intégration est ou .
Si la fonction est positive sur l'intervalle d'intégration, l'intégrale est positive et donc I_{n+1}-I_{n} est positif. Si la fonction est négative sur l'intervalle d'intégration, l'intégrale est négative et donc I_{n+1}-I_{n} est négatif.
Le volume d'un cylindre droit P = D×[0, h] (de base D et de hauteur h) se ramène à l'intégrale double ∬Dh dxdy sur le domaine D du plan xy. On retrouve ainsi, dans le cas particulier d'un cylindre droit, la formule classique : Volume d'un cylindre = aire base × hauteur.
Pour calculer u1, on fait n = 0 dans (*) : u1 = 2u0 − 1 = 2 χ 3 − 1 = 5. Pour calculer u2, on fait n = 1 dans (*) : u2 = 2u1 − 1 = 2 χ 5 − 1 = 9. De même : u3 = 2u2 − 1 = 17. On remarque que, pour calculer un terme de la suite, on doit calculer tous les termes d'indice inférieur.
On peut calculer des intégrales de produits de fonctions en utilisant la formule d'intégration par parties : 𝑢 𝑣 𝑥 𝑥 = 𝑢 𝑣 − 𝑣 𝑢 𝑥 𝑥 , d d d d d d où 𝑢 et 𝑣 sont des fonctions dérivables.
Le premier moment de l'histoire des mathématiques s'identifie néanmoins aux Grecs, qui, à partir du VIe siècle avant J. -C., vont faire de cette discipline plus qu'un outil, un idéal de pensée. C'est généralement à Thalès de Milet que l'on accorde la paternité de la géométrie, et le début des mathématiques grecques.
La surface comprise entre la courbe d'équation y = exp(−x2) et l'axe des abscisses vaut √π. où α est un paramètre réel strictement positif. Elle intervient dans la définition de la loi de probabilité appelée loi gaussienne, ou loi normale.
Al-Khwarizmi, dont le nom a été latinisé en Algoritmi, est considéré de nos jours comme le père de l'algèbre et le fondateur des mathématiques arabes.
Une intégrale impropre est convergente si sa valeur est finie, dans le cas contraire elle est divergente.
Critères d'intégrabilité
Une fonction réglée est intégrable sur un intervalle fermé. En particulier on en déduit que les fonctions continues, continues par morceaux, monotones ou encore à variations bornées sont toutes intégrables sur un intervalle fermé.
Pour déterminer une primitive de x↦eaxcos(bx) x ↦ e a x cos , on commence par écrire cos(bx)=Re(eibx) ( b x ) = ℜ e ( e i b x ) et donc que eaxcos(bx)=Re(e(a+ib)x) e a x cos ( b x ) = ℜ e ( e ( a + i b ) x ) .
1 xα dx est convergente si et seulement si α < 1. Démonstration : C'est la même que la proposition précédente sauf qu'on regarde cette fois la limite quand a tend vers 0. Dans ce cas, a1−α convergera si et seulement si α < 1. En résumé : 1/x est toujours le cas critique et n'est jamais intégrable.
Pour étudier une intégrale généralisée ∫If ∫ I f , Étape 1 : on étudie la continuité (par morceaux) de f sur I . Il faut vérifier notamment qu'il n'y a pas de problèmes à l'intérieur de ]a,b[ . D'autre part, il est possible que f se prolonge par continuité en a (ou en b ).