Q est dénombrable. Tout rationnel s'écrit de façon unique comme fraction réduite x = p/q o`u q ≥ 1 et p ∧ q = 1. L'application f : Q ↦→ Z × N, f(x) = (p, q) est injective, c'est une bijection sur son image, un sous-ensemble de Z × N.
Pour démontrer que ℝ est non dénombrable, il suffit de démontrer la non-dénombrabilité du sous-ensemble [0, 1[ de ℝ, donc de construire, pour toute partie dénombrable D de [0, 1[, un élément de [0, 1[ n'appartenant pas à D. Soit donc une partie dénombrable de [0, 1[ énumérée à l'aide d'une suite r = (r1, r2, r3, … ).
L'ensemble Q des nombres rationnels est dénombrable. En effet, un rationnel est représenté par une fraction, c'est-à-dire un couple constitué d'un entier relatif et d'un entier naturel non nul. En composant comme il faut les bijections établies précédemment, on obtient une bijection de N dans Z × N∗.
Exemples. L'ensemble N des entiers est bien sûr dénombrable. L'ensemble N × N, des couples (i,j) d'entiers est également dénombrable. Pour le montrer, il faut donner une suite x0, x1, x2, ... de couples distincts qui parcourent tout l'ensemble N × N.
Un nom dénombrable doit pouvoir être précédé de one, two, three ou a/an. À l'inverse, un nom indénombrable ne peut pas être précédé de one, two, three ou a/an. Néanmoins, certains noms peuvent changer de catégorie en fonction du contexte.
Qu'est-ce qu'un dénombrable ? C'est un nom que l'on peut “dénombrer”, c'est-à-dire que l'on peut compter. En anglais d'ailleurs, on parle de “countable”. Un “countable noun”, c'est un nom que l'on peut compter.
En mathématiques, la cardinalité est une notion de taille pour les ensembles. Lorsqu'un ensemble est fini, c'est-à-dire si ses éléments peuvent être listés par une suite finie, son cardinal est la longueur de cette suite, autrement dit il s'agit du nombre d'éléments de l'ensemble.
En effet, les nombres entiers sont les nombres entiers relatifs, qui incluent les nombres entiers négatifs, jusqu'à la limite de l'infini négatif. En revanche, le plus petit des nombres entiers naturels est 0, et le plus petit nombre entier naturel non nul est 1.
On peut aussi employer la formule suivante : Ckn=(nk)=n!k! (n−k)! où Ckn donne le nombre de combinaisons de k éléments sélectionnés dans un ensemble de n éléments (k<n).
Le nombre des éléments de E est appelé cardinal de E. Il est noté Card(E). Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B) − Card(A ∩ B).
En grammaire et en linguistique, un nom dénombrable est un nom désignant une entité qui se compte, par exemple une chaise, deux chaises. Il peut être quantifié par un adjectif numéral, comme dans l'exemple précédent, ou par un adjectif indéfini comme chaque ou plusieurs. Il se possède un singulier et un pluriel.
Ainsi, on utilise many uniquement avec les noms dénombrables et much uniquement avec les noms indénombrables.
c) pour exprimer une quantité, on est obligé d'utiliser un terme qui en extrait une partie, comme : some (du/ de la), a lot of (beaucoup), a piece of (un morceau / une partie), a bit of (un peu de), a great deal of (une grande quantité de)... Exemples : They've got a lot of furniture. Ils ont beaucoup de meubles.
Many s'utilise pour les noms dénombrables. Many friends(beaucoup d'amis). Much s'emploie pour les noms indénombrables. Much patience (beaucoup de patience).
'few' est suivi de noms dénombrables (exembles: des œufs) et peut se traduire par peu de. 'a few' est suivi de noms dénombrables et peut se traduire par quelques .
“Any” est exclusivement employé dans des propositions interrogatives ou négatives, “some” est quant à lui employé dans des phrases interrogatives et affirmatives. Do you have any eggs ?
Giuseppe Peano et Richard Dedekind ont axiomatisé l'arithmétique à la fin du XIX e siècle. Dans cette approche les entiers naturels sont une notion première, ainsi que la relation "est successeur de".
Principe de multiplication : Soit deux ensembles A et B contenant respectivement m et n éléments. Alors l'ensemble A × B contient m · n éléments. Il va de soi que chacun de ces principes peut se généraliser `a un nombre fini quelconque d'ensembles.
En mathématiques, un ensemble fini est un ensemble qui possède un nombre fini d'éléments, c'est-à-dire qu'il est possible de compter ses éléments, le résultat étant un nombre entier. Un ensemble infini est un ensemble qui n'est pas fini. qui possède 10 éléments, est fini.
principe du cardinal : pour désigner la taille d'une collection, il suffit d'énoncer le dernier mot-nombre utilisé ; principe d'abstraction : les objets peuvent être de natures différentes ; principe de non pertinence de l'ordre : les objets peuvent être parcourus dans n'importe quel ordre.
Ces deux dernières définitions et l'étymologie des mots nous font choisir d'utiliser : - dénombrer (même principe que dénommer) c'est trouver le nombre, quelque soit la procédure choisie ; - compter, c'est trouver le nombre en utilisant la comptine (et la correspondance terme à terme : un mot- nombre/un objet).
Les méthodes inventées par Pascal et Fermat relèvent de ce qu'on appelle aujourd'hui la combinatoire car elles reposent sur des dénombrements.