L'espace ℝ des nombres réels et l'espace ℂ des nombres complexes, munis de la distance usuelle d(x, y) = |x – y|, sont complets. Tous les espaces vectoriels normés de dimension finie sur ℝ sont des espaces de Banach, c'est-à-dire des espaces vectoriels normés complets.
Théorème : R , C sont des espaces métriques complets. Une partie A de E est complète si l'espace métrique induit (A,d) est complet. Proposition : Si E est un espace métrique complet et A⊂E A ⊂ E , alors A est complet si et seulement si A est fermé.
∀n ⩾ n1, d(xϕ(n),x) < ε/2. Alors, ∀n ⩾ max (n0,n1), d(xn,x) ⩽ d(xn,xϕ(n)) + d(xϕ(n),x) < ε, ce qui montre que la suite converge. Un espace métrique (X,d) est dit complet si toute suite de Cauchy converge.
En mathématiques, plus particulièrement en analyse fonctionnelle, on appelle espace de Banach un espace vectoriel normé sur un sous-corps K de ℂ (en général, K = ℝ ou ℂ), complet pour la distance issue de sa norme.
Re: Q n'est pas (au blé) complet
Si une suite de rationnels (un) converge vers un irrationnel r , alors c'est une suite de Cauchy. Cependant, elle n'admet pas de limite dans Q . Or, si Q était complet, toute suite de Cauchy à éléments rationnels (donc, en particulier, la suite (un) ) convergerait vers un rationnel.
Définition : Soit une suite réelle; on dit que est une suite de Cauchy ou vérifie le critère de Cauchy si : quel que soit , il existe un entier tel que les inégalités p ≥ N et n ≥ N entraînent | u p − u n | < ϵ .
Par définition de ·∞, un ensemble X est borné s'il est inclus dans un pavé [−a,a]N, qui est compact. Si de plus X est fermé, c'est un fermé dans un compact, donc il est compact.
Un ensemble F est fermé si et seulement si toute limite (dans E) d'une suite généralisée à valeurs dans F appartient à F. L'espace E est dit séquentiel si cette caractérisation de ses fermés reste vraie en remplaçant « suite généralisée » par « suite ».
Si E est compact, alors il existe ρ > 0 tel que, pour tout x ∈ E, il existe ix ∈ I tel que B(x, ρ) ⊂ Uix . Remarque 3.3.4 Dans un cadre plus étendu, un espace topologique est dit compact s'il est séparé (au sens de Hausdorff) et si de tout son recouvrement ouvert on peut extraire un sous-recouvrement ouvert fini.
En mathématiques et plus particulièrement en analyse, une application contractante, ou contraction, est une application qui « rapproche les images » ou, plus précisément, une application k-lipschitzienne avec k < 1. Le théorème de point fixe le plus simple et le plus utilisé concerne les applications contractantes.
On dit qu'une partie F d'un espace topologique (ou d'un espace métrique, ou d'un espace vectoriel normé) E est fermée (ou que F est un fermé de E ) si son complémentaire dans E est ouvert.
Soit {x} un singleton. Si y ∈ C{x} alors y = x, donc r = d(x, y) > 0. La boule ouverte B(y, r) est un voisinage de y qui est inclus dans C{x}. Ceci implique que C{x} est un ouvert et donc {x} est un fermé.
En mathématiques et plus particulièrement en topologie générale, un ensemble ouvert, aussi appelé une partie ouverte ou, plus fréquemment, un ouvert, est un sous-ensemble d'un espace topologique qui ne contient aucun point de sa frontière. L'ouvert est l'élément de base d'un espace topologique.
Ainsi ℝ n'est pas compact, puisque la fonction identité, qui à x associe x lui-même, est continue mais non bornée. Ce même ensemble, privé du nombre 0 n'est pas davantage compact, comme on le voit en considérant la fonction inverse qui à x associe 1 /x.
Définition X ⊂ Rn est compact si X est fermé et borné (borné veut dire qu'il existe R > 0 tel que X ⊂ B(0 , R)). Exemples [0, 23] est un compact dans R. {(x, y) /x2 + (y − 2)2 ≤ 6} est un compact de R2.
les compacts de R sont les fermés bornés de R. Concretement, ce sont les ensembles fermés inclus dans un ensemble [a,b]. On ne peut pas les lister exhaustivement je pense. Je pense qu'on peut aussi dire que c'est les unions finies d'intervalles férmés.
Définition : La suite (un) admet le réel pour limite si : Tout intervalle ]a ; b[ contenant , contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On dit alors que la suite est convergente.
La suite de Fibonacci possède de nombreuses propriétés très utilisées en mathématiques. Une d'entre elles est que le rapport de deux nombres consécutifs de la suite est alternativement supérieur et inférieur au nombre d'or, un nombre remarquable qui vaut exactement 1.61803398…
En mathématiques, la suite de Fibonacci est une suite de nombres entiers dont chaque terme successif représente la somme des deux termes précédents, et qui commence par 0 puis 1. Ainsi, les dix premiers termes qui la composent sont 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 et 34.
On dit que X est dense dans R si tout intervalle ouvert non vide I de R rencontre X (c'est-à-dire contient au moins un élément de X). Proposition 0.2. Soit X une partie de R. Pour que X soit dense dans R il faut et il suffit que tout point de R soit limite d'une suite d'éléments de X.
Tout intervalle ouvert contient un irrationnel, donc aucun intervalle ouvert n'est contenu dans Q : l'intérieur deQ est vide.
∅ et ℝ sont ouverts. Tout intervalle ouvert est un ensemble ouvert. Toute réunion d'ouverts est encore un ouvert. L' intersection de deux, ou d'un nombre fini d'ouverts est encore un ouvert.
Salut, Un intervalle borné est un intervalle dont les deux bornes (les extrémités) sont finies. Par exemple, ]0;5] et [1;2] sont bornés alors que [3;+∞[ ne l'est pas. Un intervalle est fermé si chacune de ses deux bornes est soit infinie, soit incluse dans l'intervalle (crochet vers l'intérieur).
Une partie d'un ensemble ordonné est bornée si elle admet à la fois un majorant et un minorant dans l'ensemble ordonné. En dehors du cas où la partie elle-même contient un majorant et un minorant, cette définition dépend donc a priori du reste de l'ensemble ordonné.