Pour démontrer que ℝ est non dénombrable, il suffit de démontrer la non-dénombrabilité du sous-ensemble [0, 1[ de ℝ, donc de construire, pour toute partie dénombrable D de [0, 1[, un élément de [0, 1[ n'appartenant pas à D. Soit donc une partie dénombrable de [0, 1[ énumérée à l'aide d'une suite r = (r1, r2, r3, … ).
Comme R n'est pas dénombrable (théor`eme 1), il existe des nombres réels non algébriques, i.e. transcendants.
Un ensemble est fini ou dénombrable quand il est vide ou l'image d'une fonction définie sur N, donc d'une certaine façon « énumérable » par une fonction définie sur les entiers. Pour qu'un ensemble soit récursivement énumérable on demande que de plus cette fonction soit calculable (au sens calculable par une machine).
Exemples. L'ensemble N des entiers est bien sûr dénombrable. L'ensemble N × N, des couples (i,j) d'entiers est également dénombrable. Pour le montrer, il faut donner une suite x0, x1, x2, ... de couples distincts qui parcourent tout l'ensemble N × N.
Les noms indénombrables représentent des choses que nous ne pouvons pas compter avec des chiffres. Ces noms désignent souvent des idées ou des qualités abstraites, ou des objets physiques qui sont trop petits ou trop fluides pour être comptés un par un (des liquides, des poudres, des gaz, etc.).
Re : Q est dénombrable
Les rationnels se divisent en nombres strictement positifs, en nombre strictement négatifs et en 0. Les deux premiers sont en bijection, le dernier est tout seul. On peut peut-être trouver une décomposition de N du même type N=N1 "+" N2 "+" 1 élément tout seul.
Adjectif. Que l'on ne peut pas dénombrer.
indénombrable
indénombrable adj. Que l'on ne peut pas dénombrer.
Re : dans N²
c'est l'ensemble des nombres entiers qui sont somme de deux carrés.
Un nombre fini est un nombre qui a un nombre fini de chiffres après la virgule. 1,25 est un nombre fini tout comme 1,23456789 est un nombre fini. Un nombre indéfini est un nombre dont le nombre de chiffres après la virgule est infini, comme le nombre Pi ou comme les nombres périodiques.
Qu'est-ce qu'un dénombrable ? C'est un nom que l'on peut “dénombrer”, c'est-à-dire que l'on peut compter. En anglais d'ailleurs, on parle de “countable”. Un “countable noun”, c'est un nom que l'on peut compter.
Plus formellement, un ensemble E est dit fini s'il existe un entier naturel n et une bijection entre E et l'ensemble des entiers naturels strictement plus petits que n. Cet entier n, qui est alors unique, est appelé le nombre d'éléments, ou cardinal, de l'ensemble fini E.
1 Si n est pair (c'est-à-dire qu'il existe un entier k tel que n = 2k) alors n2 est pair donc n2 +n est pair. Si n est impair (c'est-à-dire qu'il existe un entier k tel que n = 2k + 1) alors n2 est impair (car n2 = 2(2k2 + 2k)+1) donc n2 + n est pair. Donc, pour tout n ∈ N, n2 + n est pair.
La racine carrée de deux, notée √2 (ou parfois 21/2), est définie comme le seul nombre réel positif qui, lorsqu'il est multiplié par lui-même, donne le nombre 2, autrement dit √2 × √2 = 2. C'est un nombre irrationnel, dont une valeur approchée à 10–9 près est : √2 ≈ 1,414 213 562.
Écriture en base
Un nombre entier exprimé dans le système de numération décimal est pair ou impair si son dernier chiffre est pair ou impair. Suivant cela, si le dernier chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8 alors le nombre est pair ; si le dernier chiffre est 1, 3, 5, 7 ou 9 alors le nombre est impair.
INCOMPTABLE, adj. Que l'on ne peut compter, dénombrer.
"Au cas où" sert à exprimer une éventualité. Cette locution soulève une hypothèse. Elle peut être employée seule ou introduire une proposition au conditionnel ou au subjonctif. Exemple : Prends ton sac, au cas où.
ou adv.] Pronom, adverbe relatif désignant le lieu au propre ou au figuré et secondairement le temps. 1. a) [L'antécédent désigne un lieu, au propre ou au fig.]
c) pour exprimer une quantité, on est obligé d'utiliser un terme qui en extrait une partie, comme : some (du/ de la), a lot of (beaucoup), a piece of (un morceau / une partie), a bit of (un peu de), a great deal of (une grande quantité de)... Exemples : They've got a lot of furniture. Ils ont beaucoup de meubles.
Zéro est le seul nombre entier qui ne possède qu'un seul multiple: lui-même (0). Zéro possède un seul multiple, mais il est le multiple de tous les nombres entiers. Tous les nombres entiers sont dans la table de multiplication de 1, donc tous les nombres sont des multiples de 1.
les multiples de 17 inférieur à 155 sont : 17 ; 34 ; 51 ; 68 ; 85 ; 102 ; 119 ; 136 et 153.
les nombres pairs sont ceux qui se terminent par l'un des chiffres suivants : 0, 2, 4, 6, 8.
Giuseppe Peano et Richard Dedekind ont axiomatisé l'arithmétique à la fin du XIX e siècle.
Ensemble fini
C'est une collection d'objets, de nombres, comptant une quantité limitée de ces objets. L'ensemble de chiffres est fini: il compte dix éléments: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
S'il existe une bijection f d'un ensemble E dans un ensemble F alors il en existe une de F dans E : la bijection réciproque de f, qui à chaque élément de F associe son antécédent par f. On peut alors dire que ces ensembles sont en bijection, ou équipotents.