On démontre qu'une fonction est convexe sur un intervalle si et seulement si sa dérivée est croissante sur cet intervalle, autrement dit si sa dérivée seconde est positive sur cet intervalle.
Une fonction convexe possède une dérivée première croissante ce qui lui donne l'allure de courber vers le haut. Au contraire, une fonction concave possède une dérivée première décroissante ce qui lui donne l'allure de courber vers le bas.
Un objet géométrique est dit convexe lorsque, chaque fois qu'on y prend deux points A et B, le segment [A, B] qui les joint y est entièrement contenu. Ainsi un cube plein, un disque ou une boule sont convexes, mais un objet creux ou bosselé ne l'est pas.
La fonction f est convexe sur I si sa dérivée f ' est croissante sur I, soit f ''(x) ≥ 0 pour tout x de I. La fonction f est concave sur I si sa dérivée f ' est décroissante sur I, soit f ''(x) ≤ 0 pour tout x de I.
Soit une application d'un intervalle dans ; on dit que l'application est convexe si, quels que soient ( x 1 , x 2 ) ∈ I 2 et λ ∈ [ 0 , 1 ] on a : f ( λ x 1 + ( 1 − λ ) x 2 ) ≤ λ f ( x 1 ) + ( 1 − λ ) f ( ) .
1. Qui présente une courbure sphérique en relief ; qui est arrondi en dehors : Miroirs convexes. 2. Se dit d'un ensemble ponctuel E (différent d'une courbe) tel que tout segment ayant ses extrémités dans E est entièrement inclus dans E.
Pour prouver la convexité, vous avez besoin d'un argument qui autorise toutes les valeurs possibles de x1, x2 et λ , alors que pour le réfuter, vous n'avez besoin que de donner un ensemble de valeurs pour lequel la condition nécessaire n'est pas remplie. Exemple 2. Montrer que toute fonction affine f(x) = ax + b, x ∈ R est convexe, mais pas strictement convexe.
Une définition intuitive : une fonction est dite convexe à un intervalle si, pour toutes les paires de points du graphique, le segment de droite qui relie ces deux points passe au-dessus de la courbe .
Une fonction f(x) est α-fortement convexe, si pour α > 0, ∀x ∈ dom(f), f(x) − α 2 x2 est convexe .
Une fonction f est strictement convexe sur I si et seulement si ∀λ ∈ [0,1], ∀(x, y) ∈ I2, f(λx + (1 − λ)y) < λf(x) + (1 − λ)f(y).
In simple terms, a convex function graph is shaped like a cup (or a straight line like a linear function), while a concave function's graph is shaped like a cap . Convex function on an interval. A function (in black) is convex if and only if the region above its graph (in green) is a convex set.
Une forme convexe est l’opposé d’une forme concave. Il s'incurve vers l'extérieur et son milieu est plus épais que ses bords. Si vous prenez un ballon de football ou de rugby et que vous le placez comme si vous étiez sur le point de le frapper, vous verrez qu'il a une forme convexe : ses extrémités sont pointues et son milieu est épais.
Propriété 1 : si f est convexe sur I, alors f est continue sur I. Propriété 2 : si f est convexe sur I, alors f est dérivable `a droite et `a gauche sur I et ∀x0 ∈ I, fg (x0) ⩽ fd (x0).
Pour savoir si elle est concave ou convexe, regardez la dérivée seconde. Si le résultat est positif, il est convexe. S'il est négatif, alors il est concave . Pour trouver la dérivée seconde, nous répétons le processus en utilisant comme expression.
Un moyen simple de tester les deux consiste à relier deux points de la courbe par une ligne droite. Si la ligne est au-dessus de la courbe, le graphique est convexe. Si la ligne est en dessous de la courbe, le graphique est concave .
f est convexe sur I si et seulement si sa dérivée f ' est croissante sur I. f est concave sur I si et seulement si sa dérivée f ' est décroissante sur I. Remarque : une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive. Il apparaît donc logique de s'intéresser au signe de la dérivée de f '(x).
Intuitivement parlant, une forte convexité signifie qu’il existe une borne inférieure quadratique sur la croissance de la fonction . Cela implique directement qu’une fonction convexe forte est strictement convexe puisque la croissance quadratique de la limite inférieure est bien sûr strictement supérieure à la croissance linéaire.
Les fonctions strictement et fortement convexes n'ont pas besoin d'être différentiables . ... ... grâce aux exemples ci-dessus, nous pouvons diviser les fonctions convexes différentiables en sous-classes de fonctions RSC, strictement convexes et fortement convexes illustrées à la figure 3. Les fonctions strictement et fortement convexes n'ont pas besoin d'être différentiables.
Ce résultat signifie qu’une fonction strictement convexe peut avoir un ou aucun minimiseur global . A titre d'exemple de ce dernier cas, considérons la fonction strictement convexe f(x)=1/x sur [1,∞). La fonction a la valeur minimale 0, mais il n’y a aucun point où elle est atteinte ; donc f n’a pas de minimiseur.
Les intérieurs des cercles et de tous les polygones réguliers sont convexes , mais un cercle lui-même ne l'est pas car chaque segment joignant deux points du cercle contient des points qui ne sont pas sur le cercle. . Pour prouver qu’un ensemble est convexe, il faut montrer qu’un tel triple n’existe pas.
Une fonction est convexe si elle se situe en tout point au-dessus de sa ligne tangente . Plus formellement, une fonction f(x) est convexe si pour tout x1, x2 dans son domaine et tout t compris entre 0 et 1, on a f(tx1+(1−t)x2)≤tf(x1)+(1−t )f(x2).
Les polygones convexes ont des angles internes de moins de 180 degrés et des sommets tournés vers l'extérieur. Les polygones non-convexes ont au moins un angle interne de plus de 180 degrés et des sommets tournés vers l'intérieur.
Définition 12.1 (Ensemble convexe). Un sous-ensemble C de Rn est dit convexe si ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1], λx + (1 − λ)y ∈ C. Dans la suite, par abus de langage et lorsque cela n'am`ene aucune ambiguıté, on parlera simplement d'un convexe ou d'un convexe de Rn pour désigner un sous-ensemble convexe de Rn.
Un polygone est convexe si tous ses angles intérieurs ont une mesure inférieure à 180∘.
Je sais que, en général, si deux fonctions f,g:X→R sont convexes, alors la fonction (f−g):X→R donnée par x↦f(x)−g(x) n'est pas nécessairement convexe .