Vecteur opposé et différence de deux vecteurs AB+⃗ BA=⃗ AA=⃗0 . Définition : A et B désignent deux points du plan. B A est appelé vecteur opposé du vecteur ⃗ AB et noté −⃗ AB . AB et−⃗ AB ont même direction, même norme mais sont de sens contraires.
D C F E A D B C Page 5 5 sur 19 Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr Définition : Deux vecteurs sont opposés lorsqu'ils ont la même direction, la même longueur et qu'ils sont de sens contraire.
Deux vecteurs non nuls sont égaux si et seulement si ils ont la même direction, le même sens et la même norme.
Propriété : Deux vecteurs colinéaires non nuls ont la même direction. Conséquences géométriques : Dire que les vecteurs et sont colinéaires signifie que les points A, B, C sont alignés. Dire que les vecteurs non nuls et sont colinéaires signifie que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
Les segments [AB] et [CD] sont deux diamètres d'un même cercle de centre O. Quelle est la nature du quadrilatère ACBD ? On peut dire que ACBD est un parallélogramme car ses diagonales [AB] et [CD] ont le même milieu O. De plus, ACBD est un rectangle car ses diagonales ont même longueur.
Dans un quadrilatère ABCD, si les vecteurs AB et DC sont égaux, alors ABCD est un parallélogramme.
La règle du parallélogramme pour l'addition de vecteurs nous dit alors que si 𝐴 𝐶 et 𝐴 𝐵 ont le même point initial 𝐴 , alors 𝐴 𝐶 + 𝐴 𝐵 = 𝐴 𝐷 , où 𝐷 est le point tel que 𝐴 𝐶 𝐷 𝐵 est un parallélogramme. Le vecteur 𝐴 𝐷 est la diagonale du parallélogramme comme indiqué. Donc, ⃑ 𝑢 + ⃑ 𝑣 = 𝐴 𝐷 .
La direction d'un vecteur est déterminée par une demi-droite, appelée support du vecteur dont le sens est celui allant de l'origine de la demi-droite vers l'infini. Si le phénom`ene qu'ils modélisent est bidimensionnel, les vecteurs vivent dans R2, s'il est tridimensionnel, ils vivent dans R3.
Deux vecteurs ⃗ u (x;y) et ⃗ v (x′;y′) sont colinéaires si et seulement si : Méthode 1 : x × y ′ − x ′ × y = 0 x\times y' - x'\times y=0 x×y′−x′×y=0. Méthode 2 : il existe une réel k tel que : x ′ = k x x'=kx x′=kx et y ′ = k y y'=ky y′=ky.
Si les coordonnées ne sont pas proportionnelles, alors les vecteurs ne sont pas colinéaires. Le vecteur nul →0 est colinéaire à tout vecteur. Car quel que soit un vecteur →u, on peut toujours écrire: →0=0⋅→u. 3 points A, B, C sont alignés ⇔ →AB et →AC sont colinéaires.
Vecteurs opposés
On dit que les vecteurs A B → et B A → sont opposés et on note A B → = − B A → .
Vecteurs égaux :
Dire que les vecteurs A B → \overrightarrow{AB} AB et C D → \overrightarrow{CD} CD sont égaux signifie qu'ils ont la même direction, le même sens, et que les longueurs A B AB AB et C D CD CD sont égales.
On détermine si cette égalité est vérifiée. Deux vecteurs \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix} sont colinéaires si et seulement si xy'-x'y =0.
Lorsque deux vecteurs ont même direction (ce qui correspond à "parallèles") on dit que les vecteurs sont colinéaires. Ainsi, deux vecteurs et sont colinéaires s'il existe un nombre k tel que c'est à dire qu'un vecteur est un multiple de l'autre.
La somme de deux vecteurs opposés est nulle.
On considère la droite (D) d'équation cartésienne 2x – 3y + 1 = 0. 1°) Déterminer un vecteur directeur de (D). 2x – 3y + 1 = 0 est de la forme ax +by + c = 0 avec a = 2; b = –3 et c =1. La propriété ci-dessus permet donc d'affirmer que le vecteur est vecteur directeur de (D).
Solution détaillée. Les trois points A 1 , A 2 , A 3 sont alignés si et seulement si les vecteurs A 1 A 2 → et A 1 A 3 → sont colinéaires, donc si et seulement si le déterminant des vecteurs A 1 A 2 → , A 1 A 3 → , est nul.
Deux droites sont sécantes si et seulement si leur intersection est un singleton. rappel . Deux droites sont coplanaires si et seulement si elle sont parallèles ou sécantes. Pour montrer que deux droites ne sont pas coplanaires, il suffit de montrer qu'elles ne sont ni parallèles ni sécantes.
Produit scalaire et vecteurs colinéaires
Si ⃗ AB et ⃗ CD sont deux vecteurs colinéaires non nuls, alors : 1er cas, vecteurs de même sens : ⃗ ⋅ C D ⃗ = A B × C D \vec {AB}\cdot \vec {CD}=AB\times CD AB ⋅CD =AB×CD.
Vocabulaire Vecteur : objet mathématique représenté par un segment fléché dont les caractéristiques sont : le point d'application, la direction, le sens et la norme (dite aussi valeur ou intensité).
possède trois éléments caractéristiques : sa direction (droite (AB)) ; son sens (il y a deux sens possibles de parcours de la droite (AB) : de A vers B ou de B vers A) ; sa norme (ou sa longueur, la longueur du segment [AB]).
Les caractéristiques d'un vecteur sont sa direction, son sens et sa norme. Un vecteur qui a le même point pour origine et pour extrémité est appelé vecteur nul et est noté . Ce vecteur n'a pas de direction, pas de sens et sa norme est égale à 0. Deux vecteurs égaux ont la même direction, le même sens et la même norme.
Si les vecteurs sont égaux, cela signifie qu'ils ont le même sens. Ainsi, les vecteurs sont colinéaires. Ils ont également la même norme, ce qui signifie que les vecteurs auront la même longueur. Il convient de noter que nous savons que le côté 𝐵𝐶 est quatre fois la longueur du côté 𝐴𝐵.
D'après la définition précédente, si un quadrilatère a quatre côtés de même longueur, alors c'est un losange. Exemple : sur la figure 2, AB = BC = CD = DA = 3 cm ; donc ABCD est un losange.
La norme d'un vecteur correspond à sa longueur, c'est-à-dire à la distance qui sépare les deux points qui définissent le vecteur.