Une suite est convergente si elle tend vers un nombre fini ; une suite est divergente si elle tend vers l'infini ou si elle n'a pas de limite.
1° la limite finie d'une suite lorsqu'elle existe est unique. 2° une suite qui converge est bornée. Et conséquence de 2°, en utilisant sa contraposée : 3° si une suite n'est pas bornée alors elle diverge.
Une suite est dite convergente si ses termes ont une limite finie quand n tend vers +∞. Créé par Sal Khan.
Une suite est convergente si et seulement si les suites ( u 2 n ) et ( u 2 n + 1 ) sont convergentes et ont même limite.
Si la lentille est convergente, l'image est grossie (grossissement>1), et lorsqu'on déplace la lentille dans un sens, l'image défile dans l'autre sens. Si la lentille est divergente, l'image est rétrécie (grossissement<1), et défile dans le même sens que le déplacement de la lentille.
On considère donc une série ∑ u n à termes réels. On a, pour tout : u n + ≤ | u n | et u n − ≤ | u n | . Ainsi, si la série ∑ | u n | est convergente, il en est de même des séries ∑ u n + et ∑ u n − , et donc de la série ∑ u n .
Lorsque la limite d'une série se rapproche d'un nombre réel (c'est-à-dire que la limite existe), elle affiche un comportement convergent . En conséquence, une approximation peut être évaluée pour cette série donnée. Cependant, si la limite n’existe pas ou est égale à l’infini, cette série présente un comportement divergent.
Si la suite ne se rapproche d'aucun réels, alors elle est divergente. Mais attention : une suite divergente admet soit une limite infinie, soit aucune limite. On dira qu'une suite un admet pour limite +∞ si tout intervalle ouvert ]a ; +∞[ contient tous les termes de la suite un à partir d'un certain rang p.
Pour montrer que ( ) ne converge pas uniformément sur vers , il suffit de trouver une suite ( ) de points de telle que la suite ( f n ( x n ) − f ( x n ) ) ne tende pas vers 0 lorsque tend vers .
une suite bornée n'est pas nécessairement convergente (contre-exemple : un = (–1)n est bornée — majorée par 1 et minorée par –1 — mais n'admet pas de limite) ; pour qu'une suite tende vers ±∞, il ne suffit pas qu'elle soit non bornée (contre-exemple : la suite qui vaut 0 pour n pair, et n pour n impair).
Sens de variation, convergence et majoration/minoration
Si une suite est croissante et converge vers L, alors elle est majorée par L. Si une suite est décroissante et converge vers L, alors elle est minorée par L.
convergence, en mathématiques, propriété (exposée par certaines séries et fonctions infinies) de se rapprocher de plus en plus d'une limite à mesure qu'un argument (variable) de la fonction augmente ou diminue ou à mesure que le nombre de termes de la série augmente.
Théorème : Une série à termes positifs converge si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée. En particulier, on rappelle que si 0≤un≤vn 0 ≤ u n ≤ v n , alors : si ∑vn ∑ v n converge, alors ∑un ∑ u n converge.
Ceci est un exemple de série divergente. De même, si la raison est −2, la série ∞∑n=0(−2)n=1−2+4−8+16−32+⋯ divergera également. Une façon de mieux voir cela est ∞∑n=0(−2)n=(1−2)+(4−8)+(16−32)+⋯=−1−4−16−⋯=−∞∑ n=04n ce qui est clairement divergent.
Si une série converge, son terme général tend vers 0. Dans le cas où le terme général ne tend pas vers 0, on dit que la série diverge grossièrement.
Si les suites (un) et (wn) convergent vers une même limite finie l, alors la suite (vn) est convergente et converge vers cette même limite l. un = l. Si (un) est une suite bornée et si (vn) est une suite convergente vers 0, alors la suite (unvn) converge vers 0.
Proposition : Si la série ∑n≥0un(x) ∑ n ≥ 0 u n ( x ) converge normalement sur I , alors la suite des sommes partielles SN(x)=∑Nn=0un(x) S N ( x ) = ∑ n = 0 N u n ( x ) converge uniformément vers une fonction S sur I .
Ainsi, en un point, si la divergence est nulle, alors la densité ne varie pas ; si elle est positive en ce point, alors il y a diffusion.
Le théorème de convergence absolue dit que si la série de valeurs absolues converge, alors les séries alternées convergeront également. Une série alternée converge conditionnellement lorsqu'elle ne converge pas absolument, mais la série alternée converge (comme le montre le test des séries alternées).
La notion de convergence en probabilité repose sur l'intuition suivante : deux variables aléatoires sont « proches l'une de l'autre » s'il existe une forte probabilité que leur différence soit très faible .
On conçoit facilement qu'une suite convergente est de Cauchy, c'est une conséquence de l'inégalité triangulaire : si | u p − l | et | u n − l | sont petits il en est de même pour | u p − u n | .
On dit que la suite u est majorée lorsqu'il existe un réel M tel que pour tout entier naturel n, un ≤ M. Le nombre M est alors appelé un majorant de la suite u. On dit que la suite u est minorée lorsqu'il existe un réel m tel que pour tout entier naturel n, un ≥ m.
Si une suite est strictement croissante alors elle tend vers +∞ Faux : 1 − 1 n , ou −e−n. 4. Si une suite tend vers +∞ alors elle n'est pas majorée Vrai.
Comme la suite est non majorée, il existe au moins un terme up de la suite tel que up > A. Or la suite étant croissante, si l'on prend n supérieur à p, on aura un supérieur à up, c'est-à- dire, un supérieur à A. Donc on a prouvé que, à partir du terme up, tous les termes de la suite sont supérieurs à A.
Une suite croissante non majorée tend vers +∞ . Soit f:R→R f : R → R une fonction continue et (un) une suite convergeant vers ℓ . Alors (f(un)) ( f ( u n ) ) converge vers f(ℓ) .